☉江南大学附属实验中学 庞彦福

教学中基于“深度学习”的选题和编题﹡
——以人教版“勾股定理”为例

☉江南大学附属实验中学 庞彦福

“深度学习”是一种基于理解的学习，强调学习者批判性地学习新知识和思想，要求学习者对任何学习材料保持一种批判或怀疑的态度，批判性地看待新知识并深入思考，把它们纳入原有的认知结构中，在各种观点之间建立多元联接，要求学习者在理解事物的基础上善于质疑辨析，在质疑辨析中加深对深层知识和复杂概念的理解.近日，笔者在山东“初中数学有效教学暨名师精品课堂展示研讨会”活动中，与老师交流时谈到了深度学习观下数学教学中如何将教科书中的题目进行改编的问题.当时是结合人教版义务教育教科书数学八年级下册第十七章17.1勾股定理的内容而展开的.现整理出来与大家交流共享，并希望得到同仁的指正.

一、从浅层学习走向深度学习

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标（2011年版）》）指出：“教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，面向全体学生，注重启发式和因材施教.”基础知识是重要的、本质的，往往也是简单的，正因为看上去简单，常常引不起足够的重视，甚至被学生和教师所忽略.教科书第26页练习第2题是这样的（方便起见，不妨记作问题1）：

问题1：如图1，在平面直角坐标系中有两点A（5，0）和B（0，4）.求这两点之间的距离.

题目相当于告诉我们：在Rt△AOB中，已知OA=5，OB=4，求斜边AB的长.

图1

这是学习了勾股定理之后，直接运用勾股定理解决的一个基本的简单题目，这样的简单题目不会引起学生和教师的重视，因为，教师在教学中会认为这是最简单的题目，不需要在课堂上浪费时间.大家都明白“凡事从简单做起”的道理.我国古代著名哲学家、思想家老子有句名言：“天下难事，必做于易；天下大事，必做于细”，它精辟地指出了想成就一番事业，必须从简单的事情做起，从细微之处入手.如果将该练习进行变形（为了运算方便，将原题目中的数字适当改变），则可引发学生深度思考.

变式1：已知一个直角三角形的两直角边之比3∶4，斜边长为10，求这个三角形的面积.

变式2：已知一个直角三角形的面积为24，两直角边之比为3∶4，求这个三角形的斜边长.

变式1在运用勾股定理之前需先将两直角边之比3∶4用含有未知数的式子表示出来，即可将两直角边长表示为3x和4x，再根据斜边长为10来运用勾股定理.变式2可以看作是在变式1的基础上，利用三角形的面积为24求出两条直角边长，再运用勾股定理求出斜边长.《课标（2011年版）》指出“符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性.建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式.”符号意识是重要的数学素养，数学学习及解题的过程中合理运用符号表示数量或数量之间的关系，可为解决问题提供方便.根据奥苏贝尔的先行组织者理论，这样的变式有利于新、旧知识的结合，将已有知识应用到新知识的应用之中，有助于促进深度学习，增大学习的思维含量.

变式3：已知一个直角三角形的两条边长分别为6和8，求第三边的长.

变式4：已知一个直角三角形的两条边长分别为5和12，求这个三角形的面积.

这两个变式看似是简单问题，但在作业或考试中却是易错题，其一，学生解决此类基本而简单的问题时不认真审题且容易思维定式；其二，学生对内含于数学知识之中的思想方法的体悟不深.《课标（2011年版）》指出：“课程内容要反映社会的需要、数学的特点，要符合学生的认知规律.它不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴含的数学思想方法.”数学思想是数学知识与方法的灵魂，蕴含在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括.有了变式1和变式2，对于变式3与变式4，是直接求边还是根据面积求边都已经不重要了，关键的是学会分类.在研究数学问题时，常常需要通过分类讨论解决问题，分类的过程就是对事物共性的抽象过程.教学活动中，要使学生逐步体会为什么要分类，如何分类，如何确定分类的标准，在分类的过程中如何认识对象的性质，如何区别不同对象的不同性质.通过多次反复的思考和长时间的积累，使学生逐步感悟分类是一种重要的思想.学会分类，有助于学习新的数学知识，有助于分析和解决新的数学问题.

二、关联性是深度学习的特征

关联性是指组织体系的要素，既具独立性，又具相关性，存在着“相互关联或相互作用”的关系.数学的关联性无论是“内涵”还是“外延”体现的都是一种“连贯”.《课标（2011年版）》指出“体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系……”.直角三角形模型在生活中是常见的，应用非常广泛，而且直角三角形与等腰三角形、等边三角形作为特殊的三角形，是初中数学重点研究的对象，因此教科书第27页的练习设置了这样一个题目（记作问题2）：

问题2：如图2，等边三角形的边长是6.求：

（1）高AD的长；

（2）这个三角形的面积.

表面上看这是等边三角形或等腰三角形知识应用的题目，但解决的过程中却离不开勾股定理（当然，学习了锐角三角函数之后，也可以利用锐角三角函数知识来解决，因此，学习、研究锐角三角函数往往也是与特殊三角形联系在一起的）.教学中，为了突出重点，夯实基础，要引导学生深度思考、深度学习，不妨利用问题2来深化和拓展学生的进一步思考.

图2

变式2：等腰△ABC的腰长为10cm，底边长为16cm，则底边上的高为_______，面积为_______.

变式3：等腰△ABC的腰长为10cm，底边上的高为6cm，求△ABC的面积.

变式4：等腰△ABC的腰长为10cm，△ABC的面积为48cm2，求底边长.

变式5：等腰三角形两边长为6和12，求底边上的高.

问题2的5个变式都是在特殊三角形中应用勾股定理来解决问题的.对于变式1～3，只要能较为准确地画出图形，找出运用勾股定理的直角三角形及其各边（包括用字母或含字母的式子），是容易得出答案的.变式4与5的思维含量不仅体现在用什么方法解决问题，更重要的是能否理解其中蕴含的思想方法，并想着如何来规避题目中的“陷阱”.事物是普遍联系的，多一些美丽的景色也可能会多一些陡峭或风险.数学学习或解题中亦是如此，不断思考，多想想，多反思，会思辨，才可能会深度学习，才可能学得有效，学出质量.

三、会思辨是深度学习的体现

会思考、能思辨是深度学习的体现.思考指的是分析、推理、判断等思维活动，思辨能力就是思考辨析能力.层次分明、条理清楚的分析，清楚准确、明白有力的说理，就是思辨能力的主要特征.学习者学会思辨才能从浅层学习走向深度学习.问题1的变式3中，长为8的边一定是直角边吗？因为题目告诉我们6和8是直角三角形的两条边的长，这两边可能都是直角边，也可能是一条直角边和斜边，而8＞6，所以8可以是直角边中的一条也可以是斜边，这样就会有两种情况，如此思考分类讨论既是必要的也是自然而然的.这样的思考和思辨的解题思路与方法为正确解答变式4提供了数学思想、解题方法与策略的基础保证，顺利解决也就水到渠成了.数学学习及分析和解决问题的过程中体现出来的批判或质疑意识及思辨能力会促进学习向着纵深方向延伸，这才是真正的深度学习.

对学生学习而言，问题2的变式4、变式5为他们深度思考与学习提供了机会及可能.对于变式4，根据“腰长为10cm，△ABC的面积为48cm2”直接求底边长是有思维含量的，若方法不当，则会出现4次方程；若思考不周，则会漏解.如图3，可以求出该底上的高CD（或设为x）为9.6cm，这时易求出AD为2.8cm，于是BD=10-2.8=7.2（cm）.在Rt△BCD中，根据CD=9.6cm，BD=7.2cm，由勾股定理可得底边BC的长为12cm.如图4，如果设BC=2x，根据勾股定理，BC边上的高AP为，这样求出的底边是两种情况.为什么会出现不一样的结果呢？进一步思考，不难想象：腰长为10cm，面积为48cm2的等腰△ABC是锐角三角形还是钝角三角形呢？或者是直角三角形呢？根据题目条件可以确定不可能是直角三角形.图3画出的是锐角三角形，可以是钝角三角形吗？当想到这种情况并画出图形时，我们便会恍然大悟（如图5）.原来符合条件的底边BC是16cm或12cm两种情况.

图3

图4

图5

有了以上经验和教训，对于变式5，就会自然而然想到两种情况：当腰为6时是一种情况；当腰为12时是另一种可能.再深入思考和思辨，当腰为6时，因为6+6=12，根据三角形三边关系定理知道，此种情况不成立.

像问题1的变式3～4，问题2的变式4～5，正确解答的前提是既要“心中有图”还需具备一定的批判、质疑及思辨能力，将数学的思想方法蕴含于知识的运用之中，而提取知识不仅是囊中取物，还需能够达到灵活的自如程度，这样的学习才会有效、有深度、有质量.

四、深度学习生长出数学能力

学习数学要让学生学会用数学的眼光进行观察，用数学的头脑进行思考，用数学的语言进行表达，将知识转化为能力和智慧.解决问题1的变式3和变式4及问题2的变式4和变式5，需要将勾股定理“盘活”，需要应用知识的能力，而不是生搬硬套知识.今天学习的目的是为了明天更好地生活和工作.而对明天的工作或者是生活来说，能力最重要，能力是第一位的.因此，数学学习不仅是为了掌握知识，更重要的是应该在不断掌握知识、理解知识、运用知识的过程中生长出数学能力.数学能力主要是一个人将来工作及生活所需要的基本数学素养，如运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力及数学思维品质，比如，思维的深刻性、灵活性、独创性、批判性、敏捷性等.

数学能力要在数学学习及解题的过程中自然生长.数学能力的生长是一个让学生在更高视野下构建知识、运用知识的过程，是一个让学生在更有深度的思维下感受生长的过程，是一个让学生在更适宜的环境里发展自我的过程.数学能力的生长需要教师提供立体式、生长型、智慧的“梯子”.数学能力的生长需要给学生足够的时间和空间，让他们经历生长的过程.因此，教学中要引导学生抓重点、抓核心，学会观察、学会捕捉信息，学会分析和理解，敢于质疑，学会思考和思辨.教学中，有效开展和实施深度学习，就是教学生学习数学的方法．对教师而言，如何开发需要深度数学思维的各种探究任务是值得研究的，还要不断研究实施这些任务的有效教学途径及策略．如此，才能将深度学习引向深入，落地生根．

当然，教学中的选题和编题应结合学生的认知基础及已有经验，因地制宜，合乎实际，适合学生的才是合适的，适合学生的才是有效的，适合学生的才是最好的.

1.安富海.促进深度学习的课堂教学策略研究：教学论研究的视域转换［J］.课程·教材·教法，2014（11）.

2.中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［S］.北京：北京师范大学出版社，2012.

3.刘东升.关联性：一个值得重视的研究领域［J］.中学数学（下），2013（12）.

4.卜以楼.生长构架：复习课的理念创新［J］.中学数学（下），2016（10）.

*本文系江苏省教育科学“十三五”规划2016年度普教重点自筹课题“初中数学‘深度学习’资源建设的理论与实践研究”（课题编号：B-b/2016/02/155）的研究成果.