☉浙江临海市大田初级中学 应跃飞

☉浙江临海市第五中学 李梦虎

一道新概念型试题的命制过程及思考

☉浙江临海市大田初级中学 应跃飞

☉浙江临海市第五中学 李梦虎

新概念型问题是指给出一个学生末曾学过的新概念，要求学生运用已有知识和经验学习新概念，并根据新概念进行判断、计算、推理、迁移的一种新题型.新概念型问题能有效地检测出数学阅读、信息获取和加工、反思概括及自主探究等数学核心能力，备受各地命题专家的青睐.2017年1月，笔者参与了学校七年级上册期末模拟试题的命制工作.下面结合本次命题中一个新概念型问题的命制过程，浅谈新概念型试题命制的一些想法与思考.

一、试题呈现

概念：当点C在线段AB上，AC=nAB时，我们称n为点C在线段AB上的点值，记作dC-AB=n.

应用：

（1）如图1，点C在线段AB上.

若dC-AB=，则AC=____AB；

图1

若AC=3BC，则dC-AB=____.

（2）已知线段AB=10cm，点P、Q分别从点A、B同时出发，相向运动，点P到达点B时，点P、Q都停止运动，设运动时间为ts.

①若点P、Q的运动速度均为1cm/s，试用含t的式子表示dP-AB和dQ-AB，并判断它们的数量关系；

②若点P和点Q的运动速度分别为1cm/s和2cm/s，点Q到达点A后立即以原速返回，t为何值时，dP-AB+dQ-AB=？

拓展：

（3）如图2，在三角形ABC中，AB=AC=6，BC=4，点P、 Q同时从点A出发，点P沿线段AB匀速运动至点B，点Q沿线段AC、CB匀速运动至点B，且点P、Q同时到达点B，设dP-AB=n.当点Q运动到线段CB上时，请用含n的式子表示dQ-CB.

图2

二、命制过程

1.命题立意，确定方向.

命题之前，笔者先查阅了近几年临海市七年级上册期末调研测试的数学试卷，发现2012学年和2013学年的压轴题分别是线段上和数轴上的动点问题，2014学年和2015学年的压轴题都是角的运动问题，这些题目往往会涉及数与代数、方程、分类讨论等七年级上册的核心内容.作为期末模拟测试试题的压轴题，若只是简单如法炮制，势必会降低这份试卷的信度、效度和区分度.

在对教育行为的反思中改善教育实践。美国学者波斯纳曾对教师成长提出了一个极为明确的公式：教师成长＝经验＋反思。

再综观近年来台州中考的压轴题，新概念型试题已成为台州近几年中考一个相对稳定的题型，也是各地中考的热点题型.考虑到压轴题要有较好的信度、效度和区分度，并兼顾数学中考的导向性，因此，笔者设想命制一道新概念型问题作为压轴题，旨在考查学生的数学阅读能力、知识迁移能力及分类讨论思想和方程思想.

2.他山之石，可以攻玉.

合适的素材是新概念型问题命制成功的关键，新概念型问题的素材选取，往往需要灵感.笔者就是在下面两个素材的启发下构思谋划的.

素材1：在几何画板5.0的版本中，线段上的任意一个点可以度量它的点值，这个值在0到1之间；反过来，给定任何一个0到1之间的实数，都可以在线段上画出一个对应的点.这样，线段上的点值类似于数轴上的点，可以把0至1之间的任何一个实数与线段上的点建立起一一对应关系.在素材遴选过程中，笔者就想借鉴几何画板的点值概念给出一个新概念“点值”，用“点值”来解决两个动点在运动过程中的“精彩瞬间”.事实上，由于考虑到整份试卷阅读量等因素，新概念型试题往往让学生从抽象定义出发来学习新概念.由奥苏伯尔的有意义接受学习理论可知，要使学生顺利地习得新概念，新概念必须具有逻辑意义，学生的认知结构中必须具备同化新概念的适当知识，这就需要体现“题在书外，根在书内”的命题原则，使试题源于教材又高于教材.

素材2：如图3，点M把线段分成相等的两条线段AM与BM，点M叫线段AB的中点.类似地，还有三等分点、四等分点等（如图4、图5）.

图3

图4

图5

教材中关于中点、三等分点、四等分点的概念，都包含有两个要素：（1）位置要素，即点在线段上；（2）数量要素，如图4中的点N，对应的数量关系可以表示为AN=AB.由此得到启发，只要保持位置要素不变，对数量要素稍作延伸，把式子改成“AC=nAB”，点C与数字n就可建立起一一对应关系，这样就可以得到与等分点类似但又不同的新概念“点值”，体现了“题在书外，根在书内”的命题思想.借鉴几何画板的点值概念，给出如下定义：当点C在线段AB上，AC=nAB时，我们称n为点C在线段AB上的点值，记作dC-AB=n.这样教材中的等分点概念就被一般化了，等分点就成为新概念“点值”在已有认知结构中的固着点.至此，材料部分的构思初见雏形.

C-AB一般情形“：dC-AB=n”与“AC=nAB”具有相同的含义.目的是引导学生把符号与其所代表的实质内容联系起来，有利于学生看到符号就能联想符号所代表的实质意义，进一步揭示了“点值”概念的内涵.

细化2：为降低符号语言的抽象性，在“应用”的第（1）题，通过设置“dC-AB=____，则AC=AB；若AC=3BC，则dC-AB=____”的问题，进一步揭示概念的外延来强化对符号“dC-AB=n”的理解，目的是进一步突出实例在概念习得过程中的作用，使实例成为理解概念的一种思维载体.同时也可以考查新概念在知觉水平的应用能力.

这样的新概念经历三次阅读：首先是概念的概括性的阅读，其次是特例的理解，最后是另一个特例的简单应用，能够更好地帮助学生理解概念，建立良好的答题信心，不致于因为审题障碍导致解题受阻.细化概念后

3.细化概念，以人为本.

“点值”概念会涉及文字、符号和图形等多种语言，学生能否顺利地把文字、符号和图形语言相互转化是准确理解“点值”概念的前提.考虑到七年级学生数学阅读能力还处于起步阶段，学生在理解上会有一定的难度，笔者决定在概念的内涵和外延的揭示上再作细化.的试题，更加符合七年级学生数学阅读理解的作答能力，贴近七年级学生新概念型问题的作答心理.

4.创设情境，回归常态.

“点值”的背景知识是线段及等分点，如果只是考查线段和差及中点等知识，那么这样的压轴题就会显得单薄.笔者认为新概念型压轴题，要把新概念应用到具体问题中去，一方面，来检测新概念的理解层次；另一方面，还应让新概念型问题承载考查对七年级上册其他核心知识的掌握情况，当然这个“具体问题”也应是本册的核心内容.基于这样的认识，我们就想到让点在线段上运动起来，用速度和时间来表示“点值”，这样就可以用到七年级上册另两个核心知识整式和方程，使“应用”环节的问题设置回归常态.

第（2）①题需用含时间t的整式来表示点P和点Q在AB上的点值，使对“点值”概念的理解，从具体的特例判断过渡到更为一般的情形（用含t的整式来表示点值），从而实现“点值”在知觉水平较低层次的应用过渡到较高层次的应用.

为使考查内容涉及方程思想和分类思想，笔者把第（2）①题中点Q的运动速度改为2cm/s，且点Q到达点A后以原速返回，旨在考查“点值”在思维水平的应用能力，同时还自然地回归到对方程、分类讨论等核心思想的考查.

为了有效地检测出学生能否把新概念迁移到其他情境中去，笔者在“拓展”环节中，将动点P、Q放置在一个三角形中，把运动的速度和时间换成“dP-AB=n”，所求的问题设置成“当点Q运动到线段CB上时，请用含n的式子表示dQ-CB”.在这样的问题情境中，符号“dP-AB=n和dQ-CB”所代表的实质意义更难把握，使得问题解决更具挑战性.至此，一个完整的新概念型压轴题命制完成.

总之，命制新概念型试题时，概念的名称、定义、实例和属性的呈现都要符合学生的认知特点，体现以人为本；问题设置应紧扣新概念的内容，注意引导学生思维的延续性，实现对学生数学学习能力及解决问题能力的考查，体现“不仅要关注学生学习结果，更要关注学生学习过程中的发展和变化”的评价理念.

1.曹才翰，章建跃.数学教育心理学［M］.北京：北京师范大学出版社，2006.

2.李梦虎，蒋荣清.学习型试命制实践与思考［J］.中学数学教学参考（中），2011（10）.

3.李梦虎.基于“四基”考查的数学命题及感悟——以2015年台州市中考压轴题为例［J］.中学数学教学参考（中），2016（4）.