文︳徐 坚 徐章韬

中国古代数学文化综述

文︳徐 坚 徐章韬

1.引言

中国传统文化注重经世致用，“重实用而黜玄想”。中国古代数学的发展，起源于田亩丈量、税收计算、水利兴修等与民生息息相关的实用活动，经历实地观察与实验、分析与归纳、类比与计算等过程，形成数学理论体系，最终以官方文书的形式记载在案。《九章算术》在这种独特的文化背景下形成。书中的算法体系以问题解决为中心，强调知识的应用价值，具有鲜明的中国传统文化特征。从哲学辩证法的观点出发，数学的发展与当时的数学文化紧密联系，相互制约。本文以时间为主线对中国古代数学文化进行简单梳理，旨在突出数学文化对数学发展的影响。

2.中国古代数学文化历史梳理

2.1 先秦时期的数学文化

商代时期的经济和科学文化发展迅速，出现了甲骨文，主要用于占卜，这表明我国的文字发展到相对成熟的阶段。记数方式在结绳和刻划的基础上形成了数目字。在记数法方面，有发展完备的十进制记数法，最大的数目字达到三万。另有历法上的天干地支记日法、记时法，用10个天干和12个地支组成甲子、乙丑等60个名称记录60年的日期。

战国时期，百家争鸣，尤其是对于数学的概念、定义和命题的讨论，极大地促进了中国古代数学的形成。不同学派在正名和一些命题方面，观点各不相同。名家认为，抽象的名词概念与原先具体的事物属于不同的范畴，在“矩不方，规不可以为圆”“一尺之棰，日取其半，万世不竭”等命题中均可体现这一论点。墨家认为，名源于物，也可在一定程度上从不同方面反映物，如墨家给出点、直线、圆、正方形、平行等抽象概念。在墨家看来，“一尺之棰”的命题是不科学的，并提出“非半”的命题：将一线段按一半一半无限分割下去，必有一个不能再分割的“非半”出现，这个“非半”就是点。“非半”命题是中国古代简朴极限思想的萌芽。

2.2 秦汉时期的数学文化

秦汉处于封建社会的上升时期，经济、文化及各种技术迅速发展。“观天测象，不违农时”。以农业为主的古代中国必然依赖于天文观测和计算，从而极大地促进了数学沿着实用与算法的方向发展，这时期以《周髀算经》与《九章算术》为典型代表。

《周髀算经》是关于天文学的著作，是从数学的角度思考“盖天说”宇宙模型。在对数的认识上，出现了分数和有理数四则运算法则。在天文测量的应用中积累了丰富的数学经验，并以文字形式论述了勾股定理及其在测量中的应用。《九章算术》标志着中国古代数学体系的形成，其成就表现在算术、代数和几何三个方面，以中国古代长期积累起来的数学知识为基础，从实用的角度将几何问题转化为代数或算术问题。该书共246题，以问题集的形式分属九章：方田（各种形状田亩面积计算）、粟米（各种谷物间按比例交换）、衰分（比例分配计算）、少广（由面积求边长或由体积求径长）、商功（各种土石工程、体积计算）、均输（合理摊派赋税、徭役）、盈不足（盈亏问题）、方程（线性方程求解及正负数）、勾股（勾股测量问题）。《九章算术》集中体现了中国古代数学体系的特征：以算筹为基础，以算法为主，寓理于算，广泛应用。

2.3 魏晋南北朝时期的数学文化

魏晋时期，学术界思辨之风兴起，数学也不再只注重实用算法，而是将重心转移到对数学结论的证明上。数学在理论方面得到发展，如给《周髀算经》和《九章算术》作注释，开创性地对两部著作中的重要结论给出较严格的数学证明。在《周髀算经注》中，赵爽提出作“勾股圆方图”，用弦图对勾股定理及解勾股形的5个公式进行证明与推导。他还在“日高图及注”中，用面积出入相补的方法证明了《周髀算经》中的日高公式。

刘徽于公元263年撰写了《九章算术注》。他遵循名家和墨家的数学思想，主张分析和论证数学公式、定理等知识，并对重要的数学概念给出严格的定义，割圆术和体积理论是他最突出的两大数学成就。在《九章算术》方田章“圆田术”注中，刘徽提出用圆内接正多边形逐步逼近圆，创造了割圆术，这是极限的初步思想。他在半径为1尺的圆内，从内接正六边形开始计算，一直到内接正192边形，首次得到圆周率精确到小数点后两位的近似值：π≈3.14，化成分数是这就是有名的“徽率”。刘徽还用无限分割取极限的方法证明了阳马（直角方锥）与鳖臑（直角四面体）的体积之比恒为2∶1，并推出阳马体积公式，解决了一般立体体积的关键问题。在证明方锥、圆锥、圆台的体积时，刘徽创造了“牟合方盖”，指出球体积与牟合方盖体积之比应该是

南北朝时期，数学成果依然层出不穷。北方数学主要是对《九章算术》的承袭和扩充，在解释已有算法的基础上，提出新的算法，如解一次同余式组、等差级数求和、解不定方程等。南方数学以祖冲之、祖暅父子的工作为代表，主要是计算圆周率和推导球体积公式。祖冲之关于圆周率的计算，一方面利用割圆术，计算出圆周率数值的上下限：3.1415926＜π＜3.1415927。这是当时世界上最精确的值；另一方面用新方法，确定了圆周率的分数式：约率和密率。祖冲之父子的另一显著成就是利用出入相补原理和祖氏原理，从计算“牟合方盖”的体积出发，证明并推导了球体积公式。祖氏原理对微积分的建立有重要影响。此外，祖冲之还提出了包括负系数在内的二次、三次方程的求解方法，如“又设开差幂、开差立，兼以正负参之。指要精密，算氏之最者也”等。

2.4 宋元时期的数学文化

中国古代数学发展到宋元时代，进入鼎盛时期。这一时期，以“宋元四大家”的数学成就为代表。

秦九韶的代表作是《数书九章》，其最重要的成就有两项：正负开方术——把以增乘开方法为主体的高次方程数值解法推广至完备和大衍总数术——求解一次同余方程组，是对《孙子算经》中“物不知数”问题算法的推广。秦九韶关于一次同余式求解的剩余定理，在近代数学和现代电子计算设计中有重要作用，比欧拉和高斯的研究早了五百多年，因此常被西方人称为“中国剩余定理”。杨辉对数学理论的保留、传播和发展，做出了重大贡献。比如注释《九章算术》，并增加了“图解”“乘除法”“纂类”三卷，将书中的方法和246个问题按其方法的性质由易到难重新归类。比如，依据沈括的“隙积术”，对高阶等差级数求和进行研究，推出有名的“垛积术”。杨辉致力于简化算法，首次提出素数的概念，改进算筹乘除计算技术，发展统一的求一算法和归除法。关于纵横图（按一定规律排列的数表，即幻方）的研究，杨辉不仅给出了这些图的编造方法，而且对一些图的一般构造规律有所认识，打破了幻方的神秘性，是世界上最早对幻方进行的系统研究。杨辉还主张数学教育和数学普及，力行循序渐进、启发式教学、变式教学等方法原则，在培养数学人才方面有独到见解。宋元时期的数学已经开始尝试代数符号化。比如，李治在《测圆海镜》一书中，把求解高次方程称为“天元术”，书中的“立天元”的意思是“设x”，用“天元”代表未知量。又如，在《四元玉鉴》中，朱世杰把从列方程到解方程的方法叫“四元术”，分别用“天元”“地元”“人元”和“物元”表示四元高次方程组中的四个未知量，与现在用字母表示未知量无异。宋元时期推崇理性数学文化，数学的发展远离技艺致用，多以理论研究为主。

2.5 明清时期的数学文化

珠算的产生和发展，是明代商业贸易的发展结果。其中，程大位的《算法统宗》流传和影响最广，全书共17卷，595个应用题。该书是对珠算理论的应用与总结，对珠算规则、算盘用法以及珠算口诀都有详细论述，标志着中国由算筹到珠算的完成。

清朝初期，西方初等数学开始传入中国。一些数学家将西方的著作引入中国，如徐光启与意大利传教士利玛窦合译了欧几里得的名著《几何原本》前6卷，书中演绎推理的证明方法对中国传统数学文化产生了一定影响。第一本介绍欧洲笔算的著作《同文算指》，由李之藻与利玛窦合作编译而成，在西算的基础上补充部分中算内容，开启了笔算阶段。还有一些数学家将中西数学、历算融会在一起，其中最有影响力的是有“历算第一家”之称的梅文鼎。他不仅能对传入的西方数学进行系统的整理、编排和重述，还能有所阐发和增补。康熙帝编制的《数理京蕴》汇编了西方数学知识和中算精华，还介绍了“对数造表法”和“借根方”等新内容，是一部带总结性的著作。清朝末期，西方高等数学陆续传入中国。受西方公理化思想的影响，中国在微积分和组合分析等方面取得了出色的成绩。如李善兰在“垛积术”和传统极限思想的基础上创立了“尖锥术”，这是一种微积分方法，并得出自然对数展开式。《垛积比类》是李善兰对组合数学的研究，著名的“李善兰恒等式”“李善兰数”均是关于组合数的公式定理。至此，我国古代数学形式和内容的发展接近尾声，近代数学的序幕随之开启。

（作者单位：华中师范大学数学与统计学学院）