李锦旭

北京市数学特级教师，现任教于北京市十一学校。承担“数学模型解题法”等6项国家级课题，出版个人专著《高考数学压轴题破题36计》等8部，在《数学通报》《数学教学》等省级以上刊物中发表教研论文100余篇，其中多篇被中国人民大学资料中心收录。

“学科核心素养”是时下谈论较多的一个词，如何在课堂教学中培养学生的核心素养是一个我们需要关注的问题。一个具有一定造诣的教师，已然形成自己独特的教学风格，其课堂教学具有自然的“艺术性”，能让听过其课的师生无一不被其人格魅力和教学艺术所震撼与熏染。细加剖析，这其中的原因是多方面的，仅就“核心素养”的角度考虑，是其对学生“核心素养”的培养落实得到位。具体而言，其含义有二：一是帮助学生把陈述性知识变成程序性知识，即让学生掌握了分析问题、解决问题的思维方法，培养了学生可以迁移的自主学习能力；二是在师生共同的活动过程中，让学生充分体验到学习的快乐，有效地锻炼了学生的开拓进取、知难而进的意志品质。

其实，关键是“如何教”的问题。这是一个极为现实的问题，也是讨论太多的问题，似乎没有定型的答案，没有固定的课堂教学模式可供遵循。还是魏书生先生说的好，若你善于讲，就发挥讲的优势，若你善于启发学生自学，就教给学生自学的方法，总之，寻求你所擅长的高效做法。这篇文章里，我从常规的生态课堂教学入手，主要从分层设计、课堂操作、过程评价三个方面作一点说明，供大家参考。

一、分层设计

《礼记·学记》提出“学不躐等”，其含义有二：一是不同学生已有的知识层次和水平有差异；二是处于同一层次（水平）的学生在不同成长阶段需要施以不同的教学内容和不同的教学方法。因此，我们需要充分了解不同学生和同一学生在不同阶段所处的层次，再有针对性地进行分层设计。

十一学校的做法是：第一，以入校前测的结果指导分层，印发《选课指导手册》，提出选课建议，实施“小班化”教学；第二，在起始年级配备导师，进行有针对性的个别指导—发现那棵树，即关注个体、张扬其个性。导师的三个基本功能是：学业指导、心理疏导、人生引导。

二、课堂操作

每一节课都要给学生自学方法的示范；各学科都要设计能让师生有共同收获、共同成长的活动。例如，在数学课堂上，可以为学生构建一个研究数学对象的基本套路，即通过设计系列数学活动，让学生经历“事实—概念—性质（关系）—结构（联系）—应用”的完整过程（以此为教学内容的明线），使学生完成“事实—方法—方法论—数学学科本质观”的超越（以此为暗线）。从数学学科的核心素养角度看，若要从事实到概念皆融“数学抽象”于其中，可通过创设问题情境让学生尽快进入状态，激发学生的探究欲；從理解概念到明了性质，这一过程应使学生得到“数学推理”的基本训练，包括通过归纳推理发现性质，通过（逻辑）演绎推理证明性质；从明了性质到形成结构主要也是“数学推理”，因为这是建立相关知识的联系、形成结构功能良好、迁移能力强大的数学认知结构的过程；从理解概念、明了性质、形成结构到实践应用，在这一过程中，教师应随时注重指导学生用数学知识解决数学内外的问题，使学生得到“数学建模”的有效

训练。

在上述几个步骤的关键处，应注意适时引导，加强“一般观念”的指导作用，如“如何思考”“如何发现”“从什么角度观察”；观察结构特征可从“数”“形”两个角度（静态）入手，若从动态角度入手，可改变目前问题的形式，进行等价转化后再让学生观察，进行必要的模式识别，学生往往会有新的发现，这时学生又可得到“直观想象”“数据分析”的训练。

我以课题《空间角的计算》的同课异构课型为例来具体说明。

【教师甲】

直接给出异面直线所成角、线面角、二面角的定义，稍加解释后引入空间向量方法，然后教师用课堂三分之二的时间进行例题讲解、题组练习，重点训练学生对于用向量方法求解三种空间角的能力。学生不感到难，接受情况好，听课老师也普遍反映课堂效果好。

【教师乙】

1.创设情境（事实）

首先投影，给出四个画面让学生观察：纵横交错的高速公路（异面直线所成的角）、两条电线短路放电的瞬间（异面直线的距离）、比萨斜塔倾斜度的测量（线面角）、蝴蝶展翅（飞翔）来回扇动翅膀的过程（二面角的大小）。

2.引入概念（数学抽象）

演示从平面到空间的变化过程，从而抽象出概念的本质属性。如异面直线可看成两条相交直线（就地取材，权且用两根粉笔取代），其中一条不动，另一条在空间向上（或向下）平行移动而成；还可看成两条平行直线，其中一条不动，另一条绕其上一点在空间转动而成。这种演示，可以有效地启发学生发现表征异面直线的两个要素：异面直线所成的角与距离，同时也能为学生进一步抽象出异面直线的定义提供直观的形象载体。

3.求法研究（即性质、结构的探究）

图形均为空间图形，难以直接测量，其求法应当考虑转化与化归到平面上，用平面角来表示，即寻找一个典型的截面。如上述演示，回归即可引出作表征异面直线所成角用平面角的想法。这既分析了空间线面关系，又给出了求异面直线所成角的基本方法，即在具体图形中过某定点（最好选在这两条线上某个固定的点）作其中一条的平行线，将题设相关条件有效转化到一个三角形中，解此三角形即可。

同理，线面角转化为斜线与其在平面上射影的夹角，二面角则用垂直于棱的平面所截的两条射线夹角来表示，但在具体解题中不实用，可这样引导：仿照线面角的寻找方法来找二面角，即先过其中一个半平面上一点P（不在棱上）向另一个半平面引垂线，过垂足H向棱引垂线，垂足为A，连结PA（易得AP垂直于棱），则角PAH就是二面角的平面角，或过点P分别向棱和另一半平面引垂线，垂足分别为A、H，连结AH（易得AH垂直于棱），则角PAH就是二面角的平面角，解三角形PAH即可。

再启发：还有什么比较好的方法可以求这些角吗？引入空间向量，介绍向量方法。引导学生：对于直角结构明显的空间图形，可建立坐标系，用向量坐标法解决，而直角结构不太明显者，可酌情考虑选一组基底，用向量几何法解决，或化斜为直，建立空间直角坐标系，用向量坐标法解决。

4.应用（例题讲解、题组练习）

到此，课堂时间过去近四分之三，当然，用向量法求空间角的训练不够充分。

教师甲（苏步青奖获得者）将本节课定位于用向量坐标法求空间角，主要时间用于训练空间角的求法及其各种变式，学生当堂就能较为熟练地掌握空间角的向量求法，符合最新课改理念：将几何问题转化为代数问题来解决，弱化对于空间线面关系的抽象分析；同时也符合学校教学实际情况：课时紧，任务重，只能拣“干”的来。

教师乙则定位于核心概念教学，重点放在引导空间角（三种）概念的抽象、性质结构（即核心概念的内涵与外延以及这三种角的内在联系）的探究，求法也不局限于只用向量法，而且，即使用向量法，教师也还有向量几何法的引导。本节课易被诟病的地方是：在传统几何法方面用时过多，向量法也训练不充分，教学环节不完整，没有很好地完成教学任务。从教师乙的课堂教学设计来看，我们需要注意以下几点：

1.核心概念本身即蕴涵着思维训练价值，蕴含着分析问题、解决问题的思维方法，教学中不宜轻轻滑过。

2.注意引导学生体会三种角之间的有机联系，尤其是在新授课之初，否則在其他课上更没有时间分析。

3.数学思想、数学观念在数学学习过程中具有居高临下的指导作用，如本例中用类比与化归思想分析问题，容易探究到角的本质，实在而直接，不能因误认为其虚泛而掠过。

4.新课标对数学内容侧重点的转型研究：新课标在此处的着力点已经由空间想象力转移到量化处理（几何问题代数化）能力，教师甲的处理符合新课改理念，因此得到许多教师和专家的肯定，但我认为还有值得商榷之处。

开设立体几何课的主要目的不是用空间向量法解决立体几何的问题（即几何问题代数化），因为几何问题代数化的思维方法在解析几何中体现得更为充分，没有必要再在立体几何课中重复这一理念。开设立体几何课的主要目的是发展空间想象力，宏观上将视角由平面（二维）拓展到空间（三维），力求还原三维空间事物的本来面目，微观上则需要将视角集中于一个固定的空间图形，剖析还原，细致地分析空间图形的线面关系，这样才能有效地训练学生空间的联想和想象力，发展空间想象能力。而向量坐标法训练得再熟练，也无法达到通过分析空间线面关系来发展空间想象力的效果。事实上，现实的教学已经证明：理科学生在立体几何方面的推理能力甚至弱于文科生，主要原因是大多数省份的文科生不学空间向量，只能用传统的几何法分析解决问题，而理科学生自从学了空间向量法以后，甚至于连空间内一个关键点的三维坐标都难以准确写出。这是将在2017年实行的最新一轮的课程改革需要面对的现实问题，因为我们已经不止一次地研讨过新出台的《普通高中数学课程标准》，其对于立体几何问题主要是用空间向量法处理，对于用传统几何法是弱化的，而且也不再有《几何证明选讲》之类的选修课程。

三、建立科学高效的过程评价体系

评价起着导向和激励作用。针对不同层次的学生，面对不同的课型，其评价指标和权重都有所不同。研发评价系统是任何一所学校都极为重视的工作，这需要学校结合自身实际，注重导向性、激励性、有效性（时效与长效有机结合）、针对性等原则。过程评价主要为学生提供日常学习的参考数据，为其调整日常学习的效率提供决策依据。

十一学校对于学生日常学习的过程性评价的基本做法是：每位教师都及时将所教学生的常规表现纳入过程评价系统，设立考勤、课堂表现（积极主动参与课堂互动、发言、创意等）、作业、前测与章节过关测验等几项，每项以分数多少作为参与度或质量指标，每次过评的满分为40分。学生每天登录平台，就能看见自己前一天（或前几天）的过评数据，可以及时调整自己的学习状态和方式方法。

教师还可以借助过程性评价管理系统的平台对学生进行个别化指导，如通过留言或鼓励其进步，或激发其创意，或提醒、指出其待改进处，或共拟未来一段时间的读书、自学具体计划……

总之，课堂是师生交流的主渠道，是创意生成的有效时空载体。其实，学生的创意、创造远不止于课堂，只要教师敢于放手，有意引导、并创设自由平等的氛围，学生可能会随时给你意想不到的惊喜。正如陶行知先生所言：“处处是创造之地，天天是创造之时，人人是创造之人。”

“建国君民，教学为先”。古人已经把教学的重要性提升到强盛国家管理百姓的高度。教育为百年大计，新时代对教师的素养提出了很高的要求：既要有精深的专业素养、强烈的人文情怀、开放的观念与宏阔的视野，又要与时俱进、不断学习，因为只有这样，教师才有可能培养出志远意诚、思方行圆，同时具有国际视野和世界眼光的民族脊梁和国家栋梁。

责任编辑：肖佳晓

xiaojx@zgjszz.cn