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解投影与视图题的错误剖析

文/汪国刚

投影与视图是初中数学的新内容.在中考中，多以选择题、填空题等小题形式出现，题目不难，但容易出错，现把解题中的各种错误归纳如下．

一、审题不认真导致失误

例1（2016年娄底卷）下列几何体中，主视图和俯视图都为矩形的是（）

错解：选D.

错解分析：想到三棱柱的侧面都是矩形，于是直接选D，没有看清题目要求主视图和俯视图都为矩形.

正解：选B.

温馨小提示：熟悉长方体、正方体、圆锥、圆柱、球体和三棱柱等常见几何体的三视图是解这类题的关键.

二、不理解三视图的概念

图1

例2（2016年鄂州卷）一个几何体及它的主视图和俯视图如图1所示，那么它的左视图正确的是（）

错解：选C或D.

错解分析：选C或选D，没有注意轮廓线和观察的位置而致错.

正解：从物体的左面看，正六棱柱的两个侧面的正中间有一条看得见的棱.选B.

三、没有理解组合体的三视图

例3（2016年长沙卷）图2是由六个相同的小正方体搭成的几何体，这个几何体的主视图是（）

图2

错解：选A或D.

错解分析：A图是组合体的左视图，D图是从右面看到的形状.

正解：从正面看，第一层是三个小正方形，第二层是一个小正方形，第三层是一个小正方形.选B．

四、没有考虑三视图的实线与虚线的差别

例4（2016年金华卷）从一个边长为3cm的大立方体挖去一个边长为1cm的小立方体，得到的几何体如图3所示，则该几何体的左视图正确的是（）

图3

错解：选A或D.

错解分析：错选A，从左面看，挖去一个边长为1cm的小立方体存在，但看不见，在右上角部分是虚线；错选D，右上角虚线的长度不符合要求.

正解：选C.

五、根据三视图求几何体表面积的错误

例5（2016年益阳卷）图4是一个圆柱体的三视图，由图中数据计算此圆柱体的侧面积为．（结果保留π）

错解：24.

错解分析：圆柱体的侧面展开图是矩形，由主视图的尺寸直接计算侧面积，错解没有考虑到展开图的长为4π.

正解：由三视图可知，圆柱体的高为6，底面半径为2，侧面展开图为矩形，它的侧面积为S=2π×2×6=24π.

图4

六、求小方块的数量错误

例6（2016年威海卷）一个几何体由几个大小相同的小正方体搭成，其左视图和俯视图如图5所示，则搭成这个几何体的小正方体的个数是（）

A．3.B．4.

C．5.D．6.错解：选A或D.

错解分析：错选A是直接由左视图中的立方块数来确定；错选D是将左视图与俯视图中立方块个数简单相加所得.两种错误都没有根据视图确定组合体的模型.

正解：由俯视图知，底层有3个小正方体；由左视图可知，第2层有1个小正方体．故搭成这个几何体的小正方体的个数是3+1=4个.

图5

七、混淆中心投影与平行投影的特征

图6

图7

例7（2016年北京卷）如图6，小军、小珠之间的距离为2.7m，在同一盏路灯下的影长分别为1.8m，1.5m，已知小军、小珠的身高分别为1.8m，1.5m，则路灯的高为m.

错解：2.7.

错解分析：①误把小军、小珠之间的距离为2.7m看成路灯的高；②把中心投影与平行投影混为一谈，运用平行投影的特征，设路灯高度为xm，，解得x=2.7（m）.

正解：如图7，因为小军、小珠都身高与影长相等，所以，蚁E=蚁F=45°，AB=BE=BF，设路灯的高AB为xm，则BD=x-1.5，BC=x-1.8，又CD=2.7，

所以，x-1.5+x-1.8=2.7，解得x=3（m）.

故答案为3.