■山东省垦利第一中学 许茹悦

计数问题探究中的“多种思维方法”

■山东省垦利第一中学 许茹悦

计数问题种类繁多,方法多变,但无外乎元素与位置的关系问题。是先考虑“元素”,还是先考虑“位置”,或是将“元素”与“位置”综合起来考虑,就衍生出众多的解题策略与思维方法。只要把握住最基本、最常见的原理和方法,挖掘和提炼典型题目求解过程中所蕴含的多种思维方法,就能够以不变应万变,从而有效地提高解决问题的准确性。

一、数字组成中的“多种思维方法”

例1 在由数字0、1、2、3、4、5所组成的没有重复数字的四位数中,不能被5整除的数共有___个。

解法1：特殊元素优先法分类。根据所求四位数对0和5两个元素的特殊要求将其分为四类:①含0不含5,先安排0的位置填空位,共有4 8(个);②含5不含0,安排5的位置填空位,共有③含0也含5,先安排0和5的位置填空位,共有=4 8(个);④ 不合0也不含5,共有=2 4(个)。所以,符合条件的四位数共有4 8+7 2+4 8+2 4=1 9 2(个)。

解法2：特殊位置优先法分步。根据所求四位数对首末两位置的特殊要求可分三步:第一步:排个位,有种方法;第二步;排首位,有种方法;第三步:排中间两位,有种方法。所以符合条件的四位数共有

解法3：间接法。数字0、1、2、3、4、5组成的没有重复数字的四位数有能被5整除的数有两类:个位数为0的有6 0(个);个位数为5的有4 8(个)。故符合条件的四位数共有3 0 0-6 0-4 8=1 9 2(个)。

反思：数字组成常常围绕“首末位、特殊元素0、奇偶性、整除或互质关系、大小关系”等展开,求解的思维方法,要么特殊元素优先法分类,要么特殊位置优先法分步,还可以应用间接法求解。……