郑 颖 徐晓梅*

(云南师范大学物理与电子信息学院 云南 昆明 650500)

基于MATLAB的带电粒子在电磁场中的运动模拟*

郑 颖 徐晓梅*

(云南师范大学物理与电子信息学院 云南 昆明 650500)

带电粒子在电磁场中的运动是高中物理的重要内容．文章利用MATLABGUI图形处理窗口，基于高中物理教学要求，分别模拟带电粒子在匀强电场、匀强磁场以及复合场中的运动图像．结合高中学生所学知识，利用形象化的场图使学生对这部分内容有较深的了解，以提高学生对电磁场问题分析的能力．同时，借此实例让学生真切地感受科学技术在物理中的应用．

MATLABGUI电磁场 带电粒子的运动 模拟

带电粒子在电磁场中的运动问题是运动学、动力学和电磁学综合应用的体现，是高中物理的重点与难点之一．近年来，针对带电粒子在电磁场中运动的分析和问题解决的研究已有许多．考虑到带电粒子的运动很难直观形象地展示出来，为顺利开展实验教学，有很多学者研制了各种实验装置以便让学生切身感受粒子在电磁场中的运动，但仍存在着实验器材昂贵、实验不易观察、有一定实验误差等不足之处[1]．随着现代教育技术的发展，有研究者尝试利用计算机编程来仿真带电粒子的运动，但当中更多的是针对大学物理的教学内容来分析带电粒子的运动，从而实现带电粒子在均匀正交磁场中运动的模拟，而较少从中学物理教学要求的角度系统地仿真描述粒子在各类电磁场中的运动．

本文拟利用MATLABGUI图形处理窗口，基于高中物理教学要求，分别模拟带电粒子在匀强电场、匀强磁场以及复合场中的运动图像，旨在结合高中学生所学知识，利用形象化的图像模拟使学生对这部分内容有较深的了解，以提高学生对电磁场问题分析的能力．同时，借此实例让学生真切地感受科学技术在物理中的应用．

1 带电粒子在电磁场中的运动分析

带电粒子在电场和磁场中运动时要受到电场力和洛伦兹力的作用，由于所受力及初始条件的不同，带电粒子在不同的电磁场中会有不同的运动轨迹[2]．本文着重解决中学阶段常见的带电粒子的运动情况(以下均不考虑重力场的作用，且带电粒子均带正电)．

1.1 带电粒子在匀强电场中的运动

带电粒子在电场中受到电场力的作用产生加速度，其速度大小和方向都会发生变化，一般来说，电场力对带电粒子的运动有两种最基本的作用，一是使带电粒子加速，二是使带电粒子偏转．

下面就中学物理中常出现的两种带电粒子在电场中的运动形式加以分析．

图1 带电粒子在匀强电场中的运动

质量为m，电荷量为q>0的带电粒子在电场中运动时所受到的静电场力为

F=qE

(1)

其大小是F=qE，带正电粒子的受力方向为场强E的方向．

(1)带电粒子在匀强电场中的加速

设平行电极板的间距为d，一带正电粒子以大小为v0的速度射入电场中，经电场力做功加速至v，用功能观点分析有

于是

用牛顿第二定律分析，带电粒子沿电场线方向运动的加速度为

(2)

以v0与E同向的情况分析为例，粒子以初速度大小v0从正极板向负极板运动时[如图1(a)]，受电场力作用做加速直线运动．设粒子在电场中的运动时间为t，粒子在电场中的运动方程为

(3)

若粒子从静止开始运动到负极板，将沿电场力方向做匀加速直线运动，带电粒子的运动为类自由落体运动，且

(2)带电粒子在匀强电场中的偏转

(4)

偏转角正切值

(5)

1.2 带电粒子在匀强磁场中的运动

带电粒子在匀强磁场中运动时所受的洛伦兹力为

F=qv×B

(6)

其中力的大小为F=qvBsinθ，θ为v与B的夹角，根据右手定则：四指沿v的方向，以小于180°的夹角方向转向B的方向，则大拇指所指的方向就是粒子所受洛伦兹力的方向．若粒子在磁场中的速度为零，粒子将处于静止状态．

图2 带电粒子在匀强磁场中的运动

(1)v与B平行

如果粒子的初速度方向与磁感应线平行或反向时，粒子不受洛伦兹力作用，做匀速直线运动，学生在学习了力学和电场知识后能很好理解这类情况下粒子的运动，这里不再详细说明．

(2)v与B垂直

(7)

由此，粒子运动的轨道半径为

粒子运动的周期为

(3)v与B夹一般角度

(8)

由上式可知，当带电粒子以大小为v0的速度沿与B垂直的方向进入匀强磁场时，粒子做圆周运动，满足本节(2)中所示情形．

1.3 带电粒子在复合场中(电场、磁场并存时)的运动

带电粒子在复合场中的运动情况考查起来一般难度较大，综合性较强.近年来，高考物理题中一般出现两种电、磁场错开的“复合场”，一是空间上错开，二是时间上错开，且空间上错开的题目较多．

带电粒子的运动空间内若除磁场B外还存在电场E时，带电粒子同时受到电场力和洛伦兹力的作用，所受的合力F为

F=qE+qv×B

(9)

在此，为了扩展学生对粒子在复合场中运动的了解，就以下面两种较为常见的类型讨论粒子在此复合场中的运动轨迹．

(1)E与B相互平行，且都指向x轴正方向

(10)

图3 带电粒子在复合场中的运动

(2)E与B相互垂直

如图3(b)所示，电场E沿y方向，磁场B沿x方向，带电粒子以某一初速度v0进入此空间，取入射点为坐标原点，带电粒子受到静电力和洛伦兹力的作用而运动，在正交电磁场中的运动轨迹是条摆线(旋轮线)[5]，其运动方程可通过解微分方程[6]得到

(11)

2 MATLAB模拟带电粒子在电磁场中的运动

2.1 MATLAB GUI平台的建立

MATLAB是美国mathworks公司推出的用于数值计算和图形处理的科学计算软件，GUI(GraphicalUserInterfaces)是由窗口、光标、按键、菜单、文字说明等对象构成的一个用户界面．MATLABGUI图形用户界面的程序是在图形界面下创建与用户交互的控件元素，用户可以通过操作这些交互控件实现特定的功能，并且可以返回显示在程序界面相应的结果显示区域中，而将所有运算、绘图等复杂的代码都封装在内部，把设计者所要表达的内容以简洁、清晰的图形界面反馈给读者[7]．

在MATLAB主窗口下新建一个BlankGUI空白模板，调整并设置图形界面中各个控件的位置和属性后，得到如图4所示的用户界面效果图，同时会生成响应用户界面命令的m程序文件，以方便程序的编译和检查．

图4 初始用户界面

在该界面中，读者可在右边的编辑框中输入任意的电场强度E，磁感应强度B，带电粒子的初速度大小v0及粒子入射角度θ的值，然后计算机根据输入的值和m程序文件进行数值计算后，在左边的图形框中输出符合条件的带电粒子的运动图像．

2.2MATLAB模拟带电粒子在电磁场中的运动

带电粒子在电磁场中的运动是教学的重点和难点，文中模拟的只是忽略粒子重力的情况下，带正电粒子在均匀电场、磁场中的运动情况，对于变化的电场、磁场和需要考虑粒子的重力时，情况要复杂得多．

依据MATLAB的数值计算功能，设定带电粒子的质量为m=2.0×10-19kg，带电荷量q=1.6×10-19C．

(1)模拟带电粒子在匀强电场中的运动

根据带电粒子在电场中的受力情况及其运动轨迹给出的主要编程如下：

set(handles.title_text,'string',[strcat('带电粒子在匀强电场中的运动图像')],'Fontsize',14);

%输出初始界面框

1)由轨迹方程(3)，若粒子平行于电场方向入射：

fort=0:0.5:5;

v=v0+E.*q/m.*t;

x=v0.*t+E.*q/(2.*m).*t.^2

y=0

plot(x,y,'.','markersize',40,'color','r')

pause(0.001)

end

%绘制粒子在电场中加速运动的图像

2)由轨迹方程(4)，若粒子垂直于电场方向入射：

fort=0:0.5:5;

x=v0.*t

y=E.*q/(2.*m).*t^2

plot(x,y,'.','markersize',10,'color','r')

pause(0.003)

end

%绘制粒子垂直射入电场时的图像

运行结果如图5所示，图5(a)是粒子以一定初速度进入电场，在电场中加速运动时的图像，从x轴上实心圆点的变化情况可以看出，粒子在电场中做加速直线运动．若要观察粒子从静止开始到负极板的运动图像，只需在用户界面设定粒子的初速度为零即可．

图5(b)是粒子在电场中偏转的图像，从中可以看出，粒子垂直射入电场时的运动轨迹为抛物线，改变粒子的初速度，可以观察到，粒子在电场中的运动与入射速度有关，且粒子入射的初速度越大，偏移角度也越大．

图5 带电粒子在匀强电场中的运动仿真图

(2)模拟带电粒子在匀强磁场中的运动

由带电粒子在匀强磁场中的受力情况分析，根据其运动轨迹方程(8)，给出的主要编程如下：

set(handles.title_text,'string',[strcat('带电粒子在匀强磁场中的螺旋运动')],'Fontsize',14);

x0=0,y0=0,z0=30;

t=0:pi/50:2*pi;

x=x0+(-m*v0*sin(th)/q*B)*

cos((q*B./m).*t)

y=y0+(m*v0*sin(th)/q*B)*sin((q*B./m).*t)

z=z0+v0*cos(th)*t

plot3(x,y,z,'LineWidth',2)

xlabel('x(m)');ylabel('y(m)');zlabel('z(m)')

gridon

点击运行程序按钮，得到如图6所示的结果．图6(a)是粒子以初速度v0沿与B垂直的方向进入匀强磁场时，粒子做圆周运动的图像，图6(b)是粒子以初速度v0沿与B成θ角方向进入匀强磁场时粒子作等螺距的螺旋线运动的图像．

图6 带电粒子在匀强磁场中的运动仿真图

(3)模拟带电粒子在电磁复合场中的运动

由带电粒子在电磁复合场中运动的两种类型分析，结合粒子运动的轨迹方程(10)、(11)，编写具体程序，读者在用户界面框中输入任意对应的值，计算机再进行数值计算和图形输出，得到的输出结果如图7所示．

图7(a)中，E与B同向，带电粒子以大小为v0的初速度与x轴成任意角入射时，粒子做螺旋线运动，且螺距增加．图7(b)中，带电粒子在正交电磁场中的运动轨迹是一条摆线．事实上粒子具体的运动轨迹依初始状态(粒子入射速度大小和方向)是不同摆幅的摆线，文中模拟的只是E和B垂直条件下粒子的运动状态．

图7 带电粒子在复合电磁场中的运动仿真图

3 结束语

MATLAB软件的数值计算功能和图形处理功能可以辅助教学内容的顺利进行，不用考虑实验本身所带来的实验误差，以及实验环境是否影响到实验的正常进行等．但MATLAB作为教学辅助工具，用它来实现仿真主要是以理论为基础来获得现象，虽对验证性实验具有广泛的现实意义，在启发和引导学生进行探究性学习时，物理教师还是应在教学设计和教学实施中将仿真实验与传统实验教学、教

师讲解、学生实验等有机结合，培养学生的自主探究能力和实验创新能力．

此外，文中只仿真了部分涉及中学物理的基本运动情况，更为复杂的运动情况，如何利用MATLAB完整地仿真出粒子的运动规律，还需在后续工作中继续讨论研究．

1 陈晓莉，史文奎，刘霜,等．一种演示带电粒子在电磁场中运动规律的实验装置．教学仪器与实验，2013(6):29～31

2 鲍翔．带电粒子在电磁场中的运动图形赏析．物理教师，2010,8(31):53～54

3 赵凯华，陈熙谋．电磁学．北京：高等教育出版社，1996

4 陈洁，姚若河．带电粒子在磁场中运动情况的计算机模拟实验．汕头大学学报(自然科学版)，2002(17):16～20

5 饶华东，黄书鹏．带电粒子在正交电磁场中运动的教学与相.关高考试题研究．物理教师，2014,6(35):88～92

6 吴珊，姜付锦．带电粒子在匀强电场和匀强磁场中运动规律的研究．物理通报，2014(9):108～110

7 陈垚光．精通MATLABGUI设计(第3版)．北京：电子工业出版社，2013.228～240

*国家级专业(物理专业)综合改革试点项目．作者简介：郑颖(1995- )，女，在读硕士研究生，从事物理学科教学研究．通讯作者：徐晓梅(1963- )，女，副教授，研究生导师，主要从事大学物理教学及物理课程与教学论研究．

2016-06-29)