范正良

摘 要 本文以我在柯桥小学六7班进行数学总复习之“数学思考”时所执教的《图形中的规律》一课为案例，进行具体分析，对如何用数学思想指导小学数学教学实践阐述一些自己的见解。

关键词 小学数学 数学思想 教学

中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2017）04-0034-03

【案例背景】

在学习本课之前，学生已学习了长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形、圆形和简单的组合图形，会用字母表示数。学生可通过观察、归纳进行简单的推理运算，他们可以正确地填补数列“1，3，5，（ ），（ ）。”中的空白处的数字。

【案例描述】

一、探究图形中蕴含的规律

问题情境：（师）同学们，请你们用教具摆一个三角形，需要几根小棒？两个，三个呢？

生1：摆1个要3根，摆2个要6根，摆3个要9根。

生2：不对，摆2个只要5根，摆3个只要7根。（将自己摆的图形指给老师看）

师：同学们思考都很积极，要表扬。这道题目要用“分类讨论”的思想，分两种情况：①每个三角形独自摆；②有一边公用（用PPT展示）。下面让我们一起来讨论：

①每个三角形独自摆放时：

其中3n=n€？，n表示三角形的个数。

②有一边公用时：

谁能说出三角形的个数为n时，需要小棒的根数是几根？

1.展示学生火热的数学思考

（1）1+n€？ （2）3+（n-1）€？ （3）n€？-（n-1）

师：答案（1）怎么理解？

生1：（边指边说）摆第一个三角形时，先摆左边的△的一边，以后都只要摆2根小棒就可以了。共有n个三角形，因此是1+n€？。（其他学生点头表示赞同）

师：答案（2）中，“2”从哪里来？

生2：摆第1个三角形需3根小棒，以后每个三角形只需2根，共有（n-1）个，因此是3+（n-1）€？。（教师用PPT展示动画）

师：那么答案（3）又如何理解呢？

生3：假设每个三角形都要3根小棒，共需n€？根，实际从第2个三角形起，每摆一个三角形只需2根小棒，多摆了1根，因此要减去1€祝╪-1），最后答案为n€？-（n-1）。

师：同学们都积极开动了脑筋，大家的思维很活跃。这3种答案都正确，并且都可以统一写成2n+1。你们赞成吗？

生：同意！

（教师在黑板上书写1+n€？=2n+1，

3+（n-1）€？=3+2n-2=2n+1，

n€？-（n-1）=3n-n+1=2n+1）

师：同学们已能用符号表示数学式子。下面请大家回答PPT上显示的几道题目：

①摆15个三角形需要几根小棒？

生4：15€？+1=30+1=31（根）

②照这种摆法，15根小棒可以摆几个三角形？

生5：（15-1）€？=14€？=7（个）

2.同类图形迁移、拓展

师：大家已掌握了三角形个数与小棒根数之间的关系。让我们一起来探究所摆图形为正方形时的情况。特别强调：下面提到的所有组合图形都是“一边公用”的！

（同样经历学生摆教具、小组交流讨论、教师提问点评等环节，因与三角形的情况类似，故省略。）

PPT展示问题：①摆49个正方形需要几根小棒？生6：49€？+1=147+1=148（根）②用49根小棒可以摆出几个这样的正方形？生7：（49-1）€？=48€？=16（个）

师：下面我们一起探究五边形、六边形的情形，请大家用教具摆摆看，发现有何规律？可以在小组内交流讨论。

（学生经历了前面的探究思考过程，对这一游戏活动兴趣盎然。通过摆教具，在纸上画草图分析等自主探究，学生们很快找到了规律。）

生8：老师，五边形有这样的规律：小棒的根数=4€孜灞咝蔚母鍪？1。

师：真厉害，答对了！接着让我们看看六边形有什么规律？

同样，学生不一会儿就找到了规律：小棒根数=5n+1（n为六边形个数）。

师：完全正确！大家用掌声鼓励一下自己。今天我们所摆的图形与所需小棒根数之间到底有着怎样的数量关系呢？请大家与同桌讨论或小组内交流。

（学生积极思考，将之前三角形、正方形、五边形、六边形与小棒之间的关系进行联想类比，并在小组内认真交流讨论。）

师：有结论了吗？请大家一起响亮地回答。

生：小棒的根数=（图形边数-1）€淄夹胃鍪？1

3.巩固与发展

问题一：1张方桌可坐4人，2张方桌可坐6人。则：

①5张方桌可坐几人？②n张方桌可坐几人？ ③坐16人需要几张方桌？

问题二：猜数游戏4，7，10，13，（ ），（ ），……（ ）

前两个括号中填入正确的数，最后一个括号中填入含n的式子。

问题三：观察下列图形，找出三角形个数与正方形个数之间的关系。

……

二、教学总结

（一）数学知识

用字母表示数；三角形、正方形、五边形、六边形等几何图形。

（二）数学思想方法

1.分类。一种按数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法。案例中教师将摆放的三角形分为单独摆放的和有一条边重合（公用）两种情况，做到了“不重复、无遗漏、标准同一”。

2.归纳法。通过对一些个别的、特殊的情况加以观察，分析，进而导出一个一般性结论的推理方法。案例中教师让学生观察三角形个数与小棒根数之间的关系时，三角形个数从1，2，3一直增加到n，小棒根数也从3，6，9一直增加到3n，从特殊到一般，正是归纳法的特点。归纳法的本质特征是从已知到未知，从特殊到一般，从个性到共性，从经验事实到事物内在规律的飞跃过程。此外，案例中教师引领学生从三角形、正方形类比推理到五边形、六边形直至任意多边形，经历了表层类比（形式或结构上的简单类比）、深层类比（方法或模式上的纵向类比），牢牢抓住这些图形公用一边（公用1根小棒），从而探索、归纳出规律。

（三）学法指导

当我们遇到一个复杂的问题时，先从特殊的、简单的情况着手解决，并获得一定的初步经验，再把该经验推广到一般的情况，提出猜想，通过验证这个猜想来获得新的知识（案例中教师让学生说说他们各自答案的由来即是对猜想的验证）。

【案例评价】

2011版义务教育《数学课程标准》明确指出：“数学教学活动，特别是课堂教学应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维；要注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法。”

本案例正是遵循了这一原则，重视培养学生操作、归纳、猜想和推理能力，努力让学生体验成功解决数学问题和实际问题的喜悦。本案例还具有以下特点：

1.将数学知识和数学思想方法的学习有机地结合起来；

2.研究学生，研究教材，积极改进数学知识的呈现方式。第一，找准教学的起点。案例中教师把重点放在引导学生发现并用数学语言（字母）表述数学规律和总结获得规律的方法上。第二，改进数学知识的呈现方式。教师在尊重教材的基础上，把教材当做教学资源，根据学生的实际创造性地对教材内容进行有目的的挖掘、选择、补充和调整。案例中教师把表格中的“10”这一具体数字换成字母n，增加了题目的难度，这是基于柯桥小学整体的数学教学水平较高和学生整体认知水平较高的基础上的。而且，教师增加了五边形、六边形两个例子，并对高中将要学习的数列知识中的通项公式也在练习题中进行了简单的阐述，使学生有一初步的印象。

3.尊重学生的数学思考和重视归纳猜想方法的掌握与运用。案例中教师认真听取学生的意见，充分详尽地展示了学生的数学思考，及时恰当地评价学生的想法。教师把探究知识的自主权交给学生，在引领学生正确得出规律后，教师通过几道练习题让学生在具体应用中及时掌握知识和方法，并学会灵活运用。

4.归纳猜想方法的表述符合学生的实际。由于小学生的思维发展处于具体形象思维和抽象思维的过渡阶段，且主要是具体的形象思维。因此，教师要用自然语言结合数学例子加以说明。归纳猜想方法的教学设计始终要遵循“多次孕育”“初步理解”“简单应用”这一顺序。

三、进一步思考

我国古代兵书《三十六计》开篇写道：“六六三十六，数中有术，术中有数。”说明古人早已意识到数学与方法、策略之间的密切关系。

数学思想方法既是数学产生和发展的根源，还是解决具体问题的“向导”。因此，在具体的小学数学教学实践中，教师应充分重视并利用数学思想，努力在学生的课堂学习、游戏活动、日常生活中渗透数学思想，达到潜移默化的作用。

参考文献：

[1]顾泠沅，朱成杰.数学思想方法[M].北京：中央广播电视大学出版社，2004.

[2]娄阿凤.把数学思想渗透在数学学习的起始阶段[J].生活教育，2011，（08）.

（责任编辑 刘 馨）