王浩羽

(湖北省黄石市第二中学 湖北黄石 435003)

一直以来，具有一定激烈性、对抗性与技巧性的篮球运动深受运动爱好者的欢迎[1]。从本质上来说，篮球竞技运动的胜负取决于在遵守游戏规则的前提下，如何准确地把篮球扔进篮筐里。所以，能够在离篮球框远近距离的位置上精准投篮就越发重要。本文利用物理学中运动学规律，结合篮球运动中投篮位置与中国人男女平均身高，讨论影响投篮命中率的出手速度与出手角度间的关系，期望研究结果对篮球运动爱好者有些许指导意义。

图1为投篮示意图。图中OP=h，代表篮球离地高度，假设在篮球与人等高时投篮，此时高度也代表人的高度。PQ=L，表示篮球到篮筐中心的直线距离，O’Q=H，表示球筐到地面高度，依照国际篮联要求，H=3.05m。据2016年统计，我国18周岁及以上成年男性和女性的平均身高(h)分别为167.1cm和155.5cm[2]。当人以仰角为(速度方向与水平方向的夹角)、初速度为v0，向篮筐方向出手投篮，此时PQ与水平方向的夹角为β。利用物理学中的运动学方程，我们将讨论在不同区域投篮时：(1)篮球的球心命中篮筐时，篮球出手时初速度与其仰角(α)、球相对篮筐的水平位置(β)间的关系；(2)在满足篮球命中篮筐的前提条件下，出手速度的最小值。

图1 投篮示意图

1 研究方法

首先，建立物理模型[3]。篮球出手后，其运动可以看作为沿水平方向做匀速直线运动、沿竖直方向做上抛运动的两种运动的合成，如图2所示。考虑这两个方向具体的运动，利用运动学方程：

水平方向：

竖直方向：

联立(1)(2)两式可得篮球的出手速度v0与仰角α间函数关系为：

根据国际篮联要求，三分球离篮筐水平距离最远为d=7.25m，最近为d=6.7m,现讨论身高为全国平均身高的男生(167.1cm)与女生(155.8cm)，站在离球筐水平距离为7.25米处投篮(3分球)，对男生有：

如果他们在距离球篮筐3m处出手投篮(2分球)，此时对男生有：

图2 出手速度在水平方向(x轴)和竖直方向(y轴)分解示意图

图3 在保证篮球命中的情况下，男(a)、女(b)生出手投篮距球筐水平距离(d)取不同值时，出手速度与仰角之间的关系

2 结果与分析

在考虑(4)～(7)式情况下，结合(3)式的函数关系，我们获得图3。

从图3(a)与(b)中，不难发现它们具有共同特点：在某一位置投篮时(d值一定，如d=7.25)，出手速度会随着仰角的增大先减小后增大，存在极小值，且出手速度随着仰角的变化会关于此极小速度对称；凹槽区间会随着d值的减小而变小，表明越靠近篮筐投篮，篮球可出手的仰角范围将越小；篮球的出手最小速度也会随着d值得增加而变大[如图3(a)中d=7.25曲线与d=3曲线]，表明越远离球筐投篮，对出手的初速度要求将越大。值得指出的是，此时的最小速度所对应的仰角α的大小，也即曲线凹槽最低点的横坐标，将会随着距离的减小而右移，这一现象表明：越靠近篮筐位置，最小速度所对应的仰角值越大。曲线凹槽两端趋于无穷大，表明如果以此时的仰角出手，篮球不可能直接命中球筐。

比较图3中的(a)与(b)图，我们发现，站在相同的地方投篮(d值一定，都为3m时)男生的最小速度要比女生的最小速度小，表明身高越高，在相同点投篮时所需最小速度将越小。

接下来，我们考虑出手速度极小值与仰角的数值关系。由式(3)可知，此处的出手速度无穷大分别对应着式中分母为零时的两处仰角值，分别为cosα=0与sin（α-β） =0。其取值为:和α-β=0，譬如图3(a)中的虚线部分，极小值出现在这两个极值角度中间，所以最小出手速度处所对应的角度为。利用微分求极值方法，在保证篮球命中的前提下，由于篮球的运动轨迹与仰角 有关，篮球的出手速度与仰角 又具有(3)式的函数关系，因而有：

由(9)式可以得知：当出手速度的仰角比45°角稍大时，此时的投篮出手速度最小。由此，采用平均方法求最小值与采用微积分求解极值的方法所得结果一致，表明出手速度确实存在一个极小值，该极小值仅与投篮者的身高和离篮筐的距离有关。所以在同一地点投篮时，高个子要比矮个子的最小出手速度所对应的仰角要小,这一结论与文献[4]所得结果一致。

3 总结与建议

本文采用物理学中的运动学规律，在没有考虑空气阻力的影响下，研究了投篮过程中出手速度与仰角、投篮者身高、投篮者距离球筐距离之间的关系(v0,α,β)，研究结果表明：(1)同一地点投篮时，最小出手速度与其对应的仰角会随着投篮者身高的增加而减小；(2)不同点投篮时，最小出手速度会随着投篮者到篮筐的距离增加而变大，但最小出手速度所对应的仰角会随着这一距离的增加而变小；(3)投篮者距离篮筐越近投球，其仰角变化区间将越小。综合以上研究结果，我们认为：(1)高个子投篮时(男生)，仰角应接近45°投篮适宜。此时所耗能量最小。当仰角增大时，球在空中运动轨迹变长，考虑所遇空气阻力更大，所需出手速度需要更大；(2)矮个子投篮时(女生)，仰角稍微要比45°大，当在远距离投篮时，可以适当有助跑，以增加出手速度大小。

[1]闫多多.基于篮球竞赛改革下高校篮球运动员的培养[J].当代体育科学,2017,7(5):231-232.

[2]边斋.中国人身高百年增长10厘米[J].教育视界,2016(16):75.

[3]马文蔚.物理学(上册)[M].高等教育出版社,2006.

[4]李笋南,杨国庆,张新.试用数学模型分析投篮的出手角度——以分析罚球投中空心篮方式为基本模型[J].北京体育大学学报,2005,28(2):200-202.