陈玺,屈龙江,李超,2

(1.国防科技大学理学院数学与系统科学系,湖南长沙410073)

(2.信息保障科学与技术实验室,北京100072)

有限域上n元n次方程只有零解的充要条件

陈玺1,屈龙江1,李超1,2

(1.国防科技大学理学院数学与系统科学系,湖南长沙410073)

(2.信息保障科学与技术实验室,北京100072)

本文研究了有限域上只有零解的n元n次方程的结构问题.利用对有限域上不可约多元多项式在其扩域中的分解特征的刻画,结合Chevalley定理,得到了有限域上n元n次方程只有零解的一个充要条件,并给出这类方程的一些新的具体构造.

有限域;方程只有零解;多元多项式分解;不可约多项式

1 引言

有限域上的多项式理论在编码密码、有限几何、组合设计等领域均有非常重要的应用,近年来得到了许多学者的关注和研究,详见文[1,2]及其中的参考文献.多元多项式方程解数的计算和估计是有限域上多项式理论的重要内容,在工程实际中应用广泛,如应用多项式理论构造密码系统、纠错码或者组合设计对象时,构造对象的参数计算问题往往可以转化为有限域上多项式方程解数的计算问题.然而,有限域上多元多项式方程的解的问题一直是困难的数学问题.Chevalley定理是该方面的一个重要结果:设f∈Fq[x1,···,xn]且满足f(0,···,0)=0,deg(f(x1,···,xn))＜n,则方程f(x1,···,xn)=0在Fq上有非平凡解,即存在

使得f(c1,···,cn)=0.但是当n=deg(f(x1,···,xn))时,上述结论并不成立.Dickson[3,4]给出了如下反例:设n∈Z+,{α1,···,αn}为Fqn在Fq上的一组基.令

则f(x1,···,xn)为系数在Fq上的多项式,且方程f(x1,···,xn)=0在Fq上只有零解(0,···,0).该反例中的函数通常被称为具……