殷高荣

一、填空题

1.已知a，b是两条不重合的直线，α，β，γ是三个不重合的平面，给出下列命题：

①若α∥β，aα，则a∥β；②若a∥α，b∥α，则a∥b；

③若α⊥β、β⊥γ，则α∥γ；④若a⊥α，a⊥β，则α∥β.

其中正确的命题的序号是.

2.离心率为53且与椭圆y240+x215=1有公共焦点的双曲线方程为.

3.矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角BACD，则四面体ABCD的外接球的体积为.

4.设过抛物线x2=py（p≠0）的焦点的一条直线和抛物线有两个交点，且两交点的横坐标为x1，x2，则x1x2=.

5.已知椭圆x24+y23=1，F1，F2为其左、右焦点，P为椭圆上一点，若PF2=32，则PF1=.

6.若双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的离心率为2，它的焦点到渐近线的距离等于1，则该双曲线的方程为.

7.设椭圆与双曲线y2-3x2=3共焦点，且经过点（2，2），则该椭圆的离心率为.

8.已知单位圆被两条平行直线l1：x-y+a=0，l2：x-y+b=0分成四段长度相等的圆弧，则a2+b2=.

9.若圆C过直线2x+y+4=0和圆（x+1）2+（y-2）2=4的交点，则圆C面积的最小值为.

10.如图，点A是椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）右顶点，过椭圆中心的直线交椭圆于B、C两点，满足BC=2AB，AB⊥BC.则该椭圆的离心率为.

11.已知圆C1：x2+y2=4和圆C2：x2+y2-ay-6=0（a>0）的公共弦长为23，则a=.

12.椭圆x212+y23=1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，如果线段PF1交y轴于Q，且PQ=13PF1，则PF1PF2=.

13.△PAB中，AB=4，PA=3PB，则该三角形面积的最大值为.

14.椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的右顶点为A，右焦点为F，P是椭圆上在第一象限内的一点，且PF⊥x轴，B为椭圆的下顶点，BP交x轴于Q，且PA=PQ，则椭圆的离心率为.

二、解答题

15.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为BD的中点，M是B1C1的中点.

（1）求证：平面OCC1⊥平面ODD1；

（2）求证：平面ABM∥平面OC1D1.

16.如图，F1，F2分别为椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）左、右焦点，A是椭圆C的上顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，且满足∠F1AF2=90°.

（1）求椭圆C的离心率；

（2）若△ABF1面积为4，求椭圆C的标准方程.

17.有一隧道内设双行线公路（中间有护栏隔开），其截面是由一长方形ABCD和一以CD为直径的半圆弧构成，如图所示.已知AB=10m，AC=2m.要保证安全，要求车辆（车辆截面设为矩形）顶部在竖直方向距离隧道顶部的距离和车辆距离护栏距离均不小于0.5m.（护栏宽度忽略不计）