顾桂龙

一、直线与方程的应用

重要知识

1.直线方程的五种形式

（1）点斜式：y-y1=k（x-x1）.

（2）斜截式：y=kx+b.

（3）两点式：y-y1y2-y1=x-x1x2-x1（x1≠x2，y1≠y2）.

（4）截距式：xa+yb=1（a≠0，b≠0）.

（5）一般式：Ax+By+C=0（A，B不同时为0）.

2.三种距离公式

（1）A（x1，y1），B（x2，y2）两点间的距离：

AB=（x2-x1）2+（y2-y1）2.

（2）点到直线的距离：d=|Ax0+By0+C|A2+B2（其中点P（x0，y0），直线方程：Ax+By+C=0）.

（3）两平行线间的距离：d=|C2-C1|A2+B2（其中两平行线方程分别为l1：Ax+By+C1=0，l2：Ax+By+C2=0）.

3.当不重合的两条直线l1和l2的斜率存在时

（1）两直线平行l1∥l2k1=k2.

（2）两直线垂直l1⊥l2k1·k2=-1.

题型分析

例1已知直线l1：mx+8y+n=0与l2：2x+my-1=0互相平行，且l1，l2之间的距离为5，求直线l1的方程.

解析：先根据两直线平行确定参数m的值，再根据两直线的距离确定参数n的值即可.

∵l1∥l2，∴m2=8m≠n-1.

∴m=4

n≠-2或m=-4

n≠2.

（1）当m=4时，直线l1的方程为4x+8y+n=0，把l2的方程写成4x+8y-2=0.

∴|n+2|16+64=5，解得n=-22或n=18.

所以，所求直线的方程为2x+4y-11=0或2x+4y+9=0.

（2）当m=-4时，直线l1的方程为4x-8y-n=0，l2的方程为2x-4y-1=0.

∴|-n+2|16+64=5，解得n=-18或n=22.

所以，所求直线的方程为2x-4y+9=0或2x-4y-11=0.

点评：（1）求点到直线距离时，直线方程一定化成Ax+By+C=0的形式.

（2）求两平行线间的距离时，一定化成l1：Ax+By+C1=0，l2：Ax+By+C2=0的形式.

二、圆的方程

重要知识

1.圆的标准方程

当圆心为（a，b），半径为r时，其标准方程为（x-a）2+（y-b）2=r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2+y2=r2.

2.圆的一般方程

x2+y2+Dx+Ey+F=0，其中D2+E2-4F>0，表示以（-D2，-E2）为圆心，D2+E2-4F2为半径的圆.

题型分析

例2（1）若圆C经过（1，0），（3，0）两点，且与y轴相切，则圆C的方程为.

（2）已知圆M的圆心在x轴上，且圆心在直线l1：x=-2的右侧，若圆M截直线l1所得的弦长为23，且与直线l2：2x-5y-4=0相切，则圆M的方程为.

解析：（1）由题意知圆C的半径为2，且圆心坐标可设为（2，b），因此有（2-1）2+（b-0）2=2，解得b=±3，

从而圆C的方程为（x-2）2+（y±3）2=4.

（2）由已知，可设圆M的圆心坐标为（a，0），a>-2，半径为r，得（a+2）2+（3）2=r2

|2a-4|4+5=r，

解得满足条件的一组解为a=-1

r=2，所以圆M的方程为（x+1）2+y2=4.

点评：解决此类问题要根据所给条件选择适当的方程形式.解决与圆有关的问题一般有两种方法：（1）几何法：通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程；……