吴素花

(重庆师范大学 数学科学学院，重庆 401331)



一个在Armijio线搜索下全局收敛的改进共轭梯度法

吴素花

(重庆师范大学 数学科学学院，重庆 401331)

非线性共轭梯度方法是解大规模无约束问题最有效的方法之一，改进了Liu等人提出的共轭梯度算法得到MD方法,MD方法不依赖任何线搜索具有充分下降性.在Armijio型非精确线搜索下, 证明了新方法的全局收敛性.

无约束优化问题;共轭梯度法;Armijio线搜索;充分下降性;全局收敛性

本文主要考虑以下无约束极小问题:

minf(x)，x∈Rn

(1)

共轭梯度法是求解这类问题的最有效的方法之一, 其一般迭代格式为:

xk+1=xk+αkdk

(2)

(3)

其中:αk由某种线搜索确定的步长，gk表示f(x)在点xk处的梯度,参数βk称为共轭梯度参数.本文中涉及的线搜索有下列两种：

(4)

标准沃尔夫线搜索：

(5)

其中 0<δ<σ<1. 若存在常数c>0下式成立,则称方法具有充分下降性.

参数βk的不同取法对应于不同的共轭梯度法，经典的共轭梯度法有HS方法、FR方法、LS方法、CD方法、DY方法，具体的βk选取见文献[1-8].其中PRP方法、HS方法、 LS方法的计算效果比较好， 但是理论比较差；而FR方法、CD方法、DY方法的计算效果比较差,但是理论好.为了寻求在理论及数值计算上都比较好的方法,许多学者对共轭梯度方法进行了研究.

2005年，Hager和Zhang[9]提出了HZ方法，其中参数βk的选取如下：

(6)

其中:yk-1=gk-gk-1，sk-1=xk-xk-1.

Dai 和 Kou[10]提出了DK方法，其中参数βk的选取如下：

(7)

2015年，Liu[10]提出D方法，共轭梯度参数βk如下：

(8)

为了得到方法对一般函数的全局收敛性，文中对D方法进行了如下的截断修正：

1 方法的提出

下面分析liu等[11]提出的D方法.D方法的共轭梯度参……