谭延庆，沈如林

(湖北民族学院 理学院，湖北 恩施 445000)



关于亚交换群的对合交换图

谭延庆，沈如林

(湖北民族学院 理学院，湖北 恩施 445000)

对合交换图是以群中2阶元共轭类为顶点，两顶点有边当且仅当它们交换的图.讨论了亚交换群的对合交换图结构.

对合交换图；群扩张；亚交换群

1 引言及结果

设G是有限群，且X为G的一个二阶共轭类，X在G中的对合交换图ΓG(X)是指以X中元为顶点，互异点x,y∈X有一条边当且仅当xy=yx.称图ΓG(X)为正则图，如果ΓG(X)中每个顶点所连的边数都相同.如果正则图中每个顶点相连的边数为k，则称为k-正则图.特别，0-正则图称孤立点图.文献[1-6]中分别研究了G为散在单群、有限Coxeter群、对称群及特殊线性群时对合交换图ΓG(X)的结构，文献[7]讨论了亚循环2-群对合交换图的结构.本文讨论了亚交换群对合交换图的结构.所谓亚交换群即交换群被交换群的扩张.设A,B都是交换群，映射φ：B→Aut(A)为群同态，函数f:B×B→A，满足：

这里∀α,β,γ∈B，规定G为集合(B,A)，并且在G中定义乘法：

(α,a)(β,b)=(α+β,f(α,β)+aφ(β)+b)，∀(α,a),(β,b)∈G.

则G是交换群A被交换群B的扩张[8]，记G=Ext(A,B;f,φ).本文中证明了：

定理1设A,B均是交换群，G=Ext(A,B;f,φ)，并设(α,a)为G中任意二阶元，取A的子群H={-b+bφ(α)|b∈A}，则(α,a)的共轭类在G中的对合交换图是(r-1)-正则的，r为所有陪集H+f(β,α)-f(α,β)+a-aφ(β)中二阶元的个数之和，β取遍B中所有元.

2 定理1的证明

任意取(β,b)∈G，结合上面的(1)式，有：(α,a)(β,b)=(α,f(α,β)-f(β,α)+aφ(β)-bφ(α)+b)，则二阶元(α,a)的共轭类可表示为(α,a)G={(α,f(α,β)-f(β,α)+aφ(β)-bφ(α)+b)|β∈B,b∈A}.

另外，若(β,b)∈CG(α,a)，则：(α,a)(β,b)=(α,f(α,β)-f(β,α)+aφ(β)-bφ(α)+b)=(α,a)，即(α,a)的中心化子CG(α,a)={(γ,c)|γ∈B,c∈A,且f(α,γ)-f(γ,α)+aφ(γ)-cφ(α)+c=a}.

考虑二阶元(α,a)的中心化子与其共轭类的交.由上述计算得到：

(α,a)G∩CG(α,a)={(α,c)|b,c∈A,β∈B,c=f(α,β)-f(β,α)+aφ(β)-bφ(α)+b，且(a-c)φ(α)=a-c}.

令集合H={-b+bφ(α)|b∈A}，H是A的子群.(α,a)为G中取定二阶元，交(α,a)G∩CG(α,a)中的元等价于陪集H+f(β,α)-f(α,β)+a-aφ(β)中的二阶元，即(α,c)∈(α,a)G∩CG(α,a)⇔2(a-f(α,β)+f(β,α)-aφ(β)+bφ(α)-b)=0.这是因为由前……