杜先存，林 杏，唐丽花

(红河学院 教师教育学院，云南 蒙自 661199)



关于椭圆曲线y2=qx(x2+32)的整数点

杜先存，林 杏，唐丽花

(红河学院 教师教育学院，云南 蒙自 661199)

设q≡5(mod 8)为奇素数，主要利用Legendre符号值、同余、奇偶数的性质等证明了椭圆曲线y2=qx(x2+32)仅有整数点(x,y)=(0,0).

椭圆曲线；整数点；同余；奇素数

长久以来，椭圆曲线的整数点一直是数论和算术代数几何学中基本而又重要的问题，关于椭圆曲线y2=px(x2+b)(p,b∈Z+)的整数点问题，目前已有一些结果，主要集中在b=1，2,4,64.b=1时文献[1-5]已进行了一系列研究；b=2时文献[6-10]已进行了一系列研究；b=4时文献[11]进行了一些研究；b=64时文献[12]进行了一些研究.至今关于b=32的情况还没有任何结论，所以本文主要利用初等方法对q为奇素数，b=32的情况进行了研究.

1 相关引理

引理1[13]对于素数p，方程X2-2p2Y4=1，X,Y∈N+仅当p=2和3时分别有解(X,Y)=(3,1)和(17,2).

2 相关定理及证明

定理1如果q≡5(mod 8)为奇素数，则椭圆曲线:

y2=qx(x2+32)

(1)

仅有整数点(x,y)=(0,0).

qz2=x(x2+32)

(2)

因为gcd(x,x2+32)=gcd(x,8)=1或2或4或8或16或32，故(2)式可分解为以下12种情况：

情形Ⅰx=a2，x2+32=qb2，z=ab

情形Ⅱx=qa2，x2+32=b2，z=ab

情形Ⅲx=2a2，x2+32=2qb2，z=2ab

情形Ⅳx=2qa2，x2+32=2b2，z=2ab

情形Ⅴx=4a2，x2+32=4qb2，z=4ab

情形Ⅵx=4qa2，x2+32=4b2，z=4ab

情形Ⅶx=8a2，x2+32=8qb2，z=8ab

情形Ⅷx=8qa2，x2+32=8b2，z=8ab

情形Ⅸx=16a2，x2+32=16qb2，z=16ab

情形Ⅹx=16qa2，x2+32=16b2，z=16ab

情形Ⅺx=32a2，x2+32=32qb2，z=32ab

情形Ⅻx=32qa2，x2+32=32b2，z=32ab

其中gcd(a,b)=1，a,b∈Z+.

下面分别讨论这12种情形下椭圆曲线(1)的正整数点的情况.

情形Ⅰ 由x=a2，x2+32=qb2及gcd(a,b)=1得x为奇数，因此x2+32也是奇数.故由x=a2知a为奇数，因此x=a2≡1(mod 8)，所以x2+32≡1(mod 8).又q为奇素数，x为奇数，所以由x2+32=qb2知b为奇数，所以b2≡1(mod 8).因为q≡5(mod 8)为奇素数，则qb2≡5(mod 8)，则有1≡x2+32=qb2≡5(mod 8)，显然不成立，因此情形Ⅰ不成立.故该情形方程(2)无整数解，则椭圆曲线(1)无整数点.

情形Ⅱ 由x2+32=b2得b2-x2=32，即(b+x)(b-x)=32，解得(b,x)=(±6,±2)，(±9,±7)，则由x=qa2=2，得q=2,a=1，与“q为奇素数”矛盾；由x=qa2=7，得q=7,a=1，与“q≡5(mod 8)为奇素数”矛盾，因此情形Ⅱ不成立.故该情形方程(2)无整数解，则椭圆曲线(1)无整数点.

情形Ⅲ 由x=2a2,x2+32=2qb2及q≡5(mod 8)为奇素数，知b为偶数……