田巧玉

(西北民族大学 数学与计算机科学学院，甘肃 兰州 730030)



具有测度边界条件的高维Riccati方程的可解性

田巧玉

(西北民族大学 数学与计算机科学学院，甘肃 兰州 730030)

高维Riccati方程；边界测度值；逐点估计；Radon测度

本文主要研究如下高维Riccati方程解的存在性：

(1)

(2)

本文主要目的是建立当1

为了陈述主要结果，首先介绍几个基本的概念.本文的主要结果的证明方法是将方程(1)转化为具有拟度量核的积分方程，该方法有广泛的应用[12,14-15].但是值得注意的是，一般情况下，即使在非常简单的区域，格林核G并不满足拟度量核的条件.但是如果边界足够光滑，比方说，∂Ω是C1,1，方程(2)可以满足拟度量核假设条件.沿袭文献[8]的记号，定义：

G(x,y)≤a1ρ(x)ρ(y)N1,1(x,y),P(x,z)≤a2ρ(x)N1,1(x,z),

(3)

(4)

本文的主要结果是如下的存在性准则.

定理1假设1

1)不等式：

(5)

2)存在常数C>0使得：

(6)

3)对充分小的ε>0，下面的方程存在解：

(7)

4)存在常数C>0使得在任意紧子集E⊂RN-1上成立μ(E)≤CCapI(E).

更进一步，存在常数C′>0使得，如果以上结论1和结论2成立且C≤C′,则当ε=1时，方程(7)存在解u且满足：

CΡ[u]≤u≤C′Ρ[u],C|Ρ[u]|≤|u|≤C′|Ρ[u]|

(8)

当Ω是有界光滑区域时，有类似的结果，这里不再赘述.

(9)

其中um+1,m≥0满足：

(10)

通过该系列取极限进而得到主要结论.

本文中C是一个常数，可能在每一行的值不同.在可测Borel集E⊂RN-1上的容积CapI,a,p(E)定义为：

其中p>1.

本节将借助迭代技术，通过三个引理证明定理1.

引理1假设u0(x)=Ρ[u]，存在常数C1使得：

(11)

在Ω几乎处处成立,则如下的梯度估计成立：

(12)

和：

(13)

其中0<δ<1依赖于q和N.

证明由u0(x)的定义，结合Ν1,1的定义和式(4)，可以知道：

u0≤b0N1,1[μ]，

(14)

其中b0>0为常数.下面通过归纳法证明：

(15)

其中bm>0,m≥0为常数.显然，由式(14)知道当m=0时，式(15)成立.由式(2)可以将um+1写作：……