符豫东，马 瑞，马晓栋

（新疆师范大学 物理与电子工程学院，新疆 乌鲁木齐 830054）

球对称玻色—爱因斯坦凝聚中表面模的朗道阻尼和频移

符豫东，马 瑞，马晓栋*

（新疆师范大学 物理与电子工程学院，新疆 乌鲁木齐 830054）

文章采用平均场理论近似研究球对称玻色-爱因斯坦凝聚中的朗道阻尼和频移，解析计算阻尼系数和频移大小及其他们的温度依赖，在计算平均场理论微扰公式中考虑元激发的弛豫及其正交关系，在解析方案中取基态波函数为高斯分布函数一级近似改进托马斯-费米近似，以期理论结果对预言实验现象有一定的参考价值。

玻色-爱因斯坦凝聚；朗道阻尼和频移；哈特里-福克-博戈留波夫近似；托马斯-费米近似

玻色-爱因斯坦凝聚（Bose-Einstein condensate，简称BEC）是玻色子体系在温度小于某一临界值时大量微观粒子宏观占据一个或几个量子态的现象［1］。BEC是统计物理学的基本结论，是超导、超流等一大类宏观量子现象的本质，具有非常重要的意义。

元激发是统计和凝聚态物理学研究的基本内容之一，集体激发是低温下最基本的激发模式。研究集体激发对了解凝聚体的基态、超流特性和热力学性质等有十分重要的作用。

粒子间的相互作用，不仅导致集体激发的出现而且使其振幅产生衰减（集体激发的阻尼）和振动频率发散移动（集体激发的频移）。

文章计算囚禁在球对称势阱中BEC集体激发的朗道阻尼和频移，实验上实现的BEC都是囚禁在一定外场中的玻色系统。其中一个准粒子吸收一个集体模的能量变成另一个准粒子是阻尼和频移的朗道机制。集体激发衰变成两个准粒子巴利耶夫机制可以忽略不计，这是因为囚禁在谐振子势阱中的BEC体系本征频率是分立的。

采用哈特里-福克-博戈留波夫（Hartree-Fock-Bogoliubov，简称HFB）平均场近似［2］和系统基于改进托马斯-费米近似（beyond Thomas-Fermi-Approximation，简称bTFA）消除发散的本征函数和本征值［3-6］。在应用平均场理论频移改变的微扰公式中考虑元激发的弛豫及其弛豫之间的正交关系［4-6］。在高温高密度下，系统粒子碰撞频繁，系统状态处于局域热力学平衡，其动力学用二流体理论描述。而在低温低密度下，其动力学与集体激发之间的耦合有关而用平均场理论描述。

球对称势阱中的BEC的低能集体激发模主要有呼吸模和表面模等，文献［6，7］研究了呼吸模，文章研究表面模以期理论计算预言实验现象。

1 朗道阻尼和频移计算中有关理论公式

1.1 基于bTFA消发散的集体激发本征函数和本征值

囚禁在谐振频率为ωho球对称势阱是原子质量，ωho是谐振频率）的稀薄BEC原子气体基态波函数的bTFA解［3］为

元激发本征函数bTFA解［3］为

1.2 频率修正的平均场理论微扰公式与考虑元激发弛豫及其正交关系的阻尼和频移计算公式

频率为ωˉi的准粒子通过吸收一个频率为ωˉ0激发模变成了频率为ωˉj的准粒子，集体模的频率修正［2］为

在频移改变微扰理论公式中考虑元激发的弛豫及其弛豫之间的正交关系得到朗道阻尼和频移的计算公式［4-6］，分别为

其中近似地认为阻尼系数正比于频率。

2 计算及结果

考虑球对称势阱中87Rb原子（asc=5.82×10-9）气体凝聚，研究的集体模是(n,l,m)=（0,l,0），其中l=1,2,…,10，偶极子、四极子、八极子……表面模。集体模的频率为（以ωho为单位），集体模的波戈留波夫振幅为。

2.1 阻尼强度

阻尼强度用（4）及（5）式来计算。能级量子数大的准粒子本征函数振荡很快且极大值远离凝聚中心，另外量子数大能级能量高，其玻色布居因子 f0i小，因此量子数大的能级之间的跃迁耦合矩阵元小。通过仔细地考虑，在计算中选取n=0，1，2，3，4，5，6而l满足l≤22的能级(n,l,m) 。

图1 以跃迁ωij为变量的表面模阻尼强度γij函数线状图，其中小图a，b，c分别是关于l=3,5,6的表面模结果

图1给出了对l=3,5,6的表面模阻尼和频移有贡献的各个跃迁频率ωij（ωij=ωj-ωi，以ωho为单位）的阻尼强度γij（以ω2ho为单位）。准粒子跃迁(ni,li,mi)→(nj,lj,mj)满足选择条件li=lj+l和mi=mj。取文献［8］中的参量N0=6000和ωho=810Hz，取温度KBT/μ=1（对应T=38.7nK，其中μ=6.3ℏωho）。图1中箭头指向各表面模的频率ω0，线的位置对应着允许的跃迁频率ωij而其高度给出γij的计算值。其中小图a，b，c中失谐为零的跃迁分别为（3，0，m)→（3，3，m）且m=0,（4,4,m）→（4，4，m）且m=0,±1,±2,±3,±,4，（2,2,m）→（2，8，m），且m=0,±1,±2。

图2 以跃迁ωij为变量的表面模阻尼强度γij函数线状图，其中小图a，b，c是关于l=7,8,10的表面模结果

在图2中，给出了对l=7,8,10的表面模阻尼和频移有贡献的各个跃迁频率ωij的阻尼强度γij。取文献［9］中的参量N0=200000和ωho=1146Hz，取温度KBT/μ=1（对应T=238.7nK，其中μ=27.3.3ℏωho）。其中小图a，b，c中失谐为零的跃迁分别为（5，10，m）→（5,17,m）且m=0,±1,±2,…,±10，（1，1，m）→（1，9，m）且m=0,±1，（3,9,m）→（3,19,m）且m=0,±1,±2,…,±9。

图3 以跃迁ωij为变量的表面模阻尼强度γij函数线状图，其中小图a，b，c，d是关于l=1,2,4,9的表面模结果

图3给出了对l=1,2,4,9的表面模阻尼和频移有贡献的各个跃迁频率的阻尼强度γij。取文献［8］中的参量N0=6000和ωho=810Hz，取温度KBT/μ=1。在小图a，b，c，d中所有的跃迁、失谐都不为零。

2.2 朗道阻尼和频移

阻尼系数用（6）及（4）和（5）式来计算，并采用迭代的方法。

图4 关于l=3,5,6表面模朗道阻尼γ0随γ变化的函数图,但是关于l=3,5,6的表面模计算结果

图4给出了l=3,5,6的表面模在温度KBT/μ=1（相当于T=238.7 nK，其中μ=27.3ℏωho）下γ0（以ωho为单位）随γ（以ωho为单位）变化的关系。在图4中，取文献［9］中的参量N0=200000和ωho=1146Hz，用星号表示的三点处γ0=γ。图4在KBT/μ=1下l=3,5,6表面模的阻尼系数的数值在此三点给出，分别为0.0001398，0.0005322，0.0005538，相当于0.16，0.6，0.63 s-1。

图5 关于l=7,8,10表面模朗道阻尼γ0随γ变化的函数图，但是关于l=7,8,10的表面模计算结果

图5给出了l=7,8,10的表面模在温度KBT/μ=1（相当于T=38.7 nK，其中μ=6.3ℏωho）下γ0（以ωho为单位）随γ（以ωho为单位）变化的关系。在图5中，取文献［8］中的参量N0=6000和ωho=810Hz。图5在KBT/μ=1下l=7,8,10表面模的阻尼系数的数值分别为0.00397，0.00502，0.00733，相当于3.2，4.06，5.93 s-1。

由于考虑各元激发的弛豫以及各弛豫的正交关系，只有失谐很小的跃迁才能对阻尼有显著贡献［4-6］，图3中各小图中没有失谐为零共振跃迁，阻尼计算结果非常小，用迭代的办法计算，无论γ取任何数，γ0始终比γ小4-5个数量级以上。

频移用（7）及（4）和（5）式来计算，并采用阻尼系数γˉ0的计算结果。

图6 l=3,5,10表面模朗道阻尼系数γ0和频移Δω随温度T的变化图，但是关于l=3,5,10的表面模计算结果

图6给出了l=3,5,10表面模的阻尼γ0（以s-1为单位）和频移Δω（以ωho为单位）随温度T（以nK为单位）变化的函数关系，我们取文献［8］中的参量N0=6000和ωho=810Hz。

图7 l=6,7,8表面模朗道阻尼系数γ0和频移Δω随温度T的变化图，但是关于l=6,7,8表面模的结果

图7给出了l=6,7,8表面模的阻尼γ0（以s-1为单位）和频移Δω（以ωho为单位）随温度T（以nK为单位）变化的函数关系，取文献［9］中的参量N0=200000和ωho=1146Hz。

不难从（7）式看出，l=1,2,4,9的表面模阻尼很小，其频率的计算值也很小。

3结论

文章研究了球对称BEC中十个能量最低的表面模的朗道阻尼和频移。其中有四个模的阻尼和频移都很小，那么在凝聚体中激发出这四个模式的集体模后，就会在相当长的时间内稳定的存在于凝聚体中。其余六个表面模的阻尼和频移计算结果与文献［6、7］关于球对称BEC三个能量最低的呼吸模的朗道阻尼和频移的计算结果相比，大小结果相差不大，在相同的温度、粒子数和囚禁频率的条件下，是雪茄型和盘形BEC中集体模的阻尼和频移的实验结果［8、9］的十分之一左右。球对称BEC集体激发阻尼和频移的计算结果比轴对称BEC的结果小，这是因为球对称BEC中跃迁谱比轴对称的疏松［6］。文章阻尼和频移的计算值随集体模频率的增大而增大，这也和文献［6、7］计算结果的规律基本相同。关于球对称BEC集体激发阻尼和频移的计算，可以用于预言实验。与文章相同，文献［4、5］在平均场理论微扰公式中考虑元激发的弛豫及其正交关系，采用基态波函数其高斯分布一级近似的bTFA分别计算了雪茄型BEC中一个单极子模和盘形BEC中一个四极子模的阻尼和频移。计算结果分别于文献［8、9］计算结果相符。因此，文章的理论计算可靠而有一定的参考价值。

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Landau Dam p ing and Frequency-shift of Su rface M ode in a Spherical Bose-Einstein Condensate

FU Yu-dong，MA Rui，MA Xiao-dong

（CollegeofPhysicsand ElectronicEngineering，Xinjiang NormalUniversity，Urumqi，Xinjiang，830054，China）

The Landau damping and frequency-shiftof surfacemode in a spherical Bose-Einstein condensate are investigated by using themean-field theory approximation.The damping rate and frequency-shiftmagnitudeand their temperature dependence are analytically calculated.The relaxation and the orthogonal relation of elementary excitation are taken into account in themean-field perturbation formula.The firstapproximation of Gaussian distribution function is taken as the ground statewavefunction to improve the Tomas-Fermiapproximation in the analytic scheme.Weexpect thatour theoretic calculation ishelpful for experimental research.

Bose-Einstein condensate;Damping rate and frequency-shift;Hartree-fock-bogoliubov approximation;Thomas-fermi-approximation

O415

A

1008-9659（2016）04-0039-06

2016-10-11

国家自然科学基金项目（11264039）。

符豫东（1991-），男，新疆博乐人，硕士研究生，主要从事理论物理方向研究。

*［通讯作者］马晓栋（1964-），男，山东菏泽人，教授，博士，主要从事统计与凝聚态理论方向研究。