孙淑珍, 石翔宇

(华北电力大学 数理学院 北京 102206)



抛物型积分微分方程双线性元方法的新估计

孙淑珍, 石翔宇

(华北电力大学 数理学院 北京 102206)

讨论一类抛物型积分微分方程的双线性元逼近.在误差估计和分析的过程中，利用插值与投影相结合的新的估计，在降低对解的光滑度要求下，得到了与以往文献完全相同的O(h2)阶H1-模超逼近结果，及最优L2-模误差估计.

抛物型积分微分方程； 双线性元； 新的估计技巧； 超逼近及误差估计

0 引言

考虑下列抛物型积分微分方程：

(1)

1 基本知识

(2)

(3)

(4)

(5)

其中：c表示一个与h无关的正常数；uI为u的双线性插值；所用到范数及半范数均按常规意义定义.

2 超逼近分析

(θt,ψ)+(θ,ψ)(θ(s),ψ(t))ds=(ut-Rhut,ψ)+((u-Rhu),ψ)+

(6)

式(6)中取ψ=θt得

(7)

(8)

接下来估计‖θt‖0.为此对式(6)两端求导得

(θtt,ψ)+(θt,ψ)+(θ,ψ)=(utt-Rhutt,ψ)+((ut-Rhut),ψ)+((u-Rhu),ψ).

(9)

(10)

对(10)式两端从0到t积分并注意到θ(0)=0得

(11)

3 方法与结论的比较

((u-uI),((u-uI),θt)ds≜I1+I2+I3.

(12)

(13)

(14)

所得到的(14)式的估计中要求ut∈H3(Ω)， 比(8)式中的ut∈H2(Ω)高.

(15)

(16)

由分析知,上述任何一种估计方法所得到的结果都比文献[8]中的结论有所改进.用插值算子与投影算子相结合的思想，可在降低对解的光滑度要求的情形下，得到与以往文献完全相同的超逼近及超收敛结果[11].本文在单独使用投影算子时，得到其超逼近结果.另一方面，本文所提供的这种新的估计方法(尤其是再结合平均值技巧)，同样适用于其他一般的积分微分方程(包括非线性情形).

[1] 张铁.抛物型积分微分方程有限元近似的超收敛性质[J].高等学校计算数学学报，2001，23(3): 193-201.

[2] ZHANG T, LI C J. Superconvergence of finite element approximations to parabolic and hyperbolic integro-diferential equations[J]. Northeastern mathematical journal，2001，17(3): 279-288.

[3] 朱爱玲，姜子文，徐强.线性抛物型积分微分方程的扩展混合元体积元方法[J].高等学校计算数学学报，2009，31(3): 193-205.

[4] 戴培良,沈树民.线性抛物型积分微分方程的变网格有限元方法[J].高等学校计算数学学报， 1994，15(3): 242-249.

[5] 王芬玲,石东洋.抛物型积分微分方程的非协调元的收敛性分析[J].河南师范大学学报(自然科学版)，2010，38(1): 32-34.

[6] 石东洋,王海红.抛物型积分微分方程各向异性非协调有限元分析[J].工程数学学报，2009，26(2): 209-218.

[7] 石东洋,王海红.线性抛物型积分微分方程的非协调H1-Galerkin混合有限元方法[J].数学研究与评论，2009，29(5): 871-881.

[8] 林群,严宁宁.高等有限元构造与分析[M].保定:河北大学出版社,1996.

[9] 孟浩然,石东洋.抛物型积分微分方程非协调类Wilson元的整体超收敛和外推[J].数学杂志, 2013，33(2): 301-308.

[10]吴志勤,石东洋.抛物型积分微分方程的一个新的低阶混合元格式[J].安徽大学学报(自然科学版)，2012，36(6): 1-4.

[11]石东洋,王芬玲,赵燕敏.非线性Sine-Gordon方程的各向异性线性元高精度分析新格式[J].计算数学，2014，36(3): 245-256.

[12]SHI D, WANG P, ZHAO Y, et al. Superconvergence analysis of anisotropic linear triangular finite element for nonlinear schrodinger equation[J]. Applied mathematics letters，2014，38(38): 129-134.

[13]石东洋,王芬玲,赵燕敏. Sine-Gordon方程的最低阶各向异性混合元高精度分析新途径[J].计算数学，2015，37(2): 148-161.

[14]SHI D, WANG L. An anisotropic nonconforming finite element scheme with moving grids for parabolic integro-differential equations[J]. Journal of system sciences and complexity，2011，24(5): 1020-1032.

(责任编辑：方惠敏)

New Error Estimates of Bilinear Finite Element Method to Parabolic Type Integro-differential Equation

SUN Shuzhen, SHI Xiangyu

(SchoolofMathematicsandPhysics,NorthChinaElectricPowerUniversity,Beijing102206,China)

The bilinear finite element approximation to a kind of parabolic type integro-differential equation was discussed. By using novel technique of interpolation and Ritz -prejection combination in the error estimations and analysis process, the same super-close result inH1-norm and optimal error estimate inL2-norm with orderO(h2) were derived as that of the previous literature under lower smooth requirements of the exact solution.

parabolic type integro-differential equation; bilinear finite element; new novel techniques; super-close result and error estimate

2016-05-10

国家自然科学基金资助项目(11271340).

孙淑珍(1960—)，女，吉林吉林人，教授，主要从事信息处理理论与计算技术研究，E-mail:sshuzh@163.com;通讯作者：石翔宇(1991—)，男，河南平顶山人，硕士研究生，主要从事数值计算方法研究.E-mail:evangel22222@126.com.

孙淑珍,石翔宇．抛物型积分微分方程双线性元方法的新估计[J]．郑州大学学报(理学版)，2006,48(4):6-9.

O242.21

A

1671-6841(2016)04-0006-04

10.13705/j.issn.1671-6841.2016607