张 显， 吴 波

(南京财经大学应用数学学院， 南京 210023)

2k+1等分Cantor集构造的一个基本性质

张 显， 吴 波

(南京财经大学应用数学学院， 南京 210023)

将三分Cantor集构造的一个性质推广到2k+1等分Cantor集，利用质量分布原理计算2k+1等分Cantor集的Hausdorff维数。根据三分Cantor集的结构与性质，计算出2k+1等分Hausdorff集的测度。传统的计算维数的方法需要大量复杂的计算和几乎不提供任何直接启发的估计，存在一定的局限性，运用质量分布原理定义区间上的一个质量分布，可以快捷有效地给出2k+1等分Cantor集的Hausdorff维数的下界。从基本的区间覆盖去估计2k+1等分Camtor集的Hausdorff测度，对于上界，只需要估计一个特殊的覆盖。通过对所有的覆盖类进行估计，即可证得下界。

2k+1等分Cantor集；质量分布原理；Hausdorff维数；Hausdorff测度

引 言

自19世纪开始，人们对分形几何的认识从自然现象过渡到数学问题，提出了几类典型的分形集，并对其做出了大量的分析与研究。尤其19世纪后期，经过对分形集性质的深入研究，分形几何已经正式成为一门独立学科。Hausdorff在1919年引入了Hausdorff测度和Hausdorff维数，为分形几何的研究提供了最基本的工具。Mandelbrot在前人研究的基础上，结合自己的研究成果，在1975年出版了关于分形的专著，标志着分形几何正式成为一门独立的学科[1]。

1 主要内容

1.1 2k+1等分Cantor集的Hausdorff维数计算

设E0是闭区间[0.1]，第一步，将闭区间[0.1]进行2k+1等分，构造出每个长度为(2k+1)-1的2k+1个区间，并去掉第2,4,6,…，2k个开区间：

则剩下基本区间长度为(2k+1)-1的k+1个闭区间：

并记

第二步，将E1中的k+1个闭区间分别继续2k+1等分，构造出每个长度为(2k+1)-2的(k+1)(2k+1)个区间，并去掉每个等分闭区间中的第2,4,6,…，2k个开区间：

则剩下基本区间长度为(2k+1)2的(k+1)2个闭区间：

并记

第三步，继续上述步骤，第n次去掉每个等分区间中的第2,4,6,…，2k个开区间，则剩下基本区间长度为(2k+1)-n的(k+1)n个闭区间，并记

定理1[4]设F⊂Rn，F可以由Nδ个直径最大为δ的集覆盖，且当δ→0时，则

证明 对每个n，F存在一个由(k+1)n个长度为(2k+1)-n的区间组成的覆盖集，从而F可由(k+1)n个长度为(2k+1)-n的区间自然覆盖，由定理1，当n→∞，(2k+0)-n→0则

现在定义μ是由单位质量均匀分布在F上所得的质量分布，则在构造En中的每一个长度为(2K+1)-n的(k+1)n个区间都带有质量(k+1)-n。

故

1.2 2k+1等分Cantor集Hausdorff测度估计

对任意n≥1，n阶基本区间构成的集合恰好为F的一个(2k+1)-n覆盖，从而

即

Hs(F)≤1对上界，只需估计一个特殊的覆盖，而对于下界，则需要对所有覆盖类进行估计，下面只需考虑F的开区间覆盖。

设U={Ui}为F的一个开区间覆盖，由于F是紧集，可从U找出一个有限覆盖，且U的任一开区间不包含在U的其他任何一个开区间中。

由F的构造知，Li=Li,1∪1∪Li,2∪…∪k∪Li,k+1，其中∈1是包含于Li的最大间隔集，故有。≥。由xs的凸性以及(2k+1)s=k+1，得

对上述每个i，若Li不是基本区间，则重复上述过程，因为Li左右两端包含的基本区间必有正的长度，经过有限步后，上述过程中去掉的i的长度必与某个Li,j(j=1,2,…，k+1)相等，从而经过有限步后，所得新的集族P*由基本区间组成，且Ps≥P*s。

令P*中最短的基本区间是n0阶，则重复上述过程有限步后，得到一个由所有n0阶基本区间构成的覆盖Pn0。因为

2 结束语

三分Cantor集作为最基础的一类分形，在分形几何的研究中具有一定价值及应用。本文正是基于三分Cantor集自身特殊的构造研究了一类推广形式2k+1等分Cantor集，运用质量分布原理以及区间覆盖的方法，计算了其Hausdorff维数并得到了其Hausdorff测度。

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One Result of the Structure of 2k+1 Divided Cantor Set Equally

ZHANGXian,WUBo

(Department of Applied Mathmatics, Nanjing University of Finance and Economics, Nanjing 210023, China)

One of the natures of the structure of trisection cantor set is extended to the 2k+1 divided Cantor set equally. Principle of mass distribution and the structure of trisection cantor set are applied to calculate the Hausdorff dimension and Hausdorff conjecture of the 2k+1 divided Cantor set equally. The traditional calculation method of dimension needs complex computation and hardly has any direct illumination estimation, besides, there are some limitations. And the quality distribution of the interval is defined by using the quality distribution principle, the lower bound of the Hausdorff dimension of the 2k+1 divided Cantor set equally can be given quickly and efficiently. From the basic interval coverage to estimate the Hausdorff conjecture of the 2k+1 divided Cantor set equally, it is only need to estimate a special upper bound. And estimating all the cover classes of lower bounds, the lower bound is proved.

2k+1 divided Cantor set equally; principle of mass distribution; Hausdorff dimension; Hausdorff conjecture

2016-10-18

江苏省高校自然科学基金面上项目(13KJB110010)

张 显(1993-)，男，江苏淮安人，硕士生，主要从事调和分析和分形分析方面的研究，(E-mail)1056454113@qq.com； 吴 波(1982-)，男，江苏南通人，副教授，博士，主要从事调和分析和分形分析方面的研究，(E-mail)bowu8800@gmail.com

1673-1549(2016)06-0094-03

10.11863/j.suse.2016.06.19

O189

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