■河北省张家口市第一中学

侯凤云



数列新颖题型赏析

■河北省张家口市第一中学

侯凤云

一、等差数列前n项和的最值问题

A．15 B．750

二、等比数列的最值问题

点评：用均值不等式求数列中的最值，既要满足“一正、二定、三相等”的取等号条件，还注意变量为正整数的隐含条件。特别是根据条件得到的值为非正整数时，应取相邻的两个正整数，代入求值然后决定取舍。

三、等差数列与等比数列的类比

点评：由等差数列与等比数列的定义入手，把等差数列中两数相加类比到等比数列中两数相乘，等差数列中两数的差类比到等比数列中两数相除，等差数列中的“0”类比等比数列中的“1”。

四、数列与新定义的交汇

点评：定义一种新数列，考查数列的有关运算及性质，关键是迅速去掉“新定义”的外衣。本题需要理解s为4阶公和，t为3阶公积的意义，特殊化得到两个数列的前12项，归纳出周期性进而求得所求数列的S2 016。本题将新定义和数列的通项和性质，以及求和等知识有机地交汇在了一起。

五、数列与抽象函数的交汇

A.f(a2 013)>f(a2 016)

B.f(a2 014)>f(a2 015)

C.f(a2 016)

D.f(a2 014)

解析：抽象函数赋特殊值，再研究其单调性。令x=-1,y=0，得f(-1)·f(0)=f(-1)。因为当x<0时，f(x)>1，所以f(-1)>1，解得f(0)=1，则a1=f(0)=1。

当x>0时，-x<0，f(0)=f(-x)f(x)=1，所以0

设x1,x2∈R，且x10，所以1>f(x2-x1)>0。因此，f(x2)-f(x1)=f(x1+(x2-x1))-f(x1)=f(x1)·[f(x2-x1)-1]<0，即f(x2)

六、数列与函数及不等式的交汇

(1)求证：点M的纵坐标为定值。

(2)由(1)知，x1+x2=1，f(x1)+f(x2)=y1+y2=1。

两式相加，得：

Tn=a1+a2+a3+…+an

点评：①注意构造等差数列求和公式的推导过程的“倒序相加法”。②使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项。③利用基本不等式求最值时，一定要注意等号成立的条件。

七、数列模型与实际应用问题

例7 某地区发生流行性病毒感染，居住在该地区的居民必须服用一种药片进行预防，规定每人每天上午8：00和晚上20：00各服一片。现知该药片每片含药量为220 mg，人的肾脏每12小时从体内滤出这种药的60%，该药物在人体内的残留量超过380 mg，就将产生副作用。

(1)某人上午8：00第一次服药，问到第二天上午8：00服完药后，这种药在他体内还残留多少。

(2)若人长期服用这种药，这种药会不会对人体产生副作用？请说明理由。

解析：依据实际意义构建相邻两项满足的线性关系求出通项，再构建不等式解决实际问题。

(1)设某人第n次服药后，药在体内的残留量为anmg，则a1=220，第一天晚上服药后残留量a2=220+a1×(1-60%)=308，第二天早上服药后残留量a3=220+a2×(1-60%)=343.2，即到第二天上午服完药后，这种药在他体内还残留343.2 mg。

故若人长期服用这种药，这种药不会对人体产生副作用。

八、数列与数学归纳法的交汇

故an+1-an-3=0或an+1=-an，因an>0，故an+1=-an不成立，舍去。

(2)用数学归纳法证明：

3Tn+1>log2(an+3)。

因为k∈N*，所以(3k+3)3-(3k+5)·(3k+2)2=9k+7>1。

从而3Tk+1+1>log2(ak+1+3)，故当n=k+1时结论也成立。

综上可知，3Tn+1>log2(an+3)对任何n∈N*成立。

九、数列最值求解中的多种推理方法

例9 设1=a1≤a2≤…≤a2 015≤a2 016，其中a1,a3,a5,…,a2 015是公比为q的等比数列，a2,a4,a6,…,a2 016是公差为1的等差数列，则q最小值为____。

解析：方法1：由题意知q>1，由1=a1≤a2≤a1q≤a2+1≤a1q2≤a2+2≤a1q3得：

1≤a2≤q≤a2+1≤q2≤a2+2≤q3。

(责任编辑 徐利杰)