黄奎飞

江西省玉山第一中学

曲线中切点连线问题的应用探析

黄奎飞

江西省玉山第一中学

解析几何是高中数学的重点，也是难点，知识点非常多，运算要求特别高，所以学生遇到解析几何的问题非常畏惧，但教师如果在平常教学中善于总结、分类知识点，就会激发学生的兴趣。本人就一类切点的连线问题与之共勉。

曲线；切点；问题解析

1、在求圆的切线问题中有这样结论：若圆C的方程为：x2+y2=R2，点P(x0,y0)在圆C上，则过点P的切线方程为xx0+yy0=R2，教师可以在深入分析这个方程，若点P(x0,y0)不在圆C上，则xx0+yy0=R2又表示曲线的什么方程。经过推导得到这个方程表示过点P作圆的两条切线，切点分别为A,B，这个方程是AB的连线方程。不难发现椭圆也有相似的结论：

例2：如图所示，已知椭圆C+=1(a＞b＞0),c=a2-b2)的左顶点为A，上顶点为B，左焦点为F，原点O到直线BF的距离为，ΔABF的面积为1-

（1）求椭圆C的方程（2）过直线x=4上的动点P引椭圆C的两条切线，切点分别为M,N，求ΔOMN面积的取值范围。2

解：（1）+y=1

（2）由结论可得：直线MN的方程是x+ty=1

消去x整理得(4+t2)y2-2ty-3=0

∴S△OMN的取值范围是

2、抛物线同样有相似的结论，推导过程都是一样的（略）

（1）若抛物线C∶x2=2py(p＞0)，点P(x0,y0)在抛物线C外，过点P(x0,y0)作抛物线的两条切线，切点分别为A,B，则AB的连线方程为：xx0-py-py0=0。

（2）若抛物线C∶x2=-2py(p＞0)，则AB的连线方程为：3py-xx0-py0=0。

（3）若抛物线C∶y2=2px(p＞0)，则AB的连线方程为：yy0-px-px0=0。

（4）若抛物线C∶y2=-2px(p＞0)，则AB的连线方程为：yy0+3px+px0=0。

例3：已知抛物线C∶x2=4y,F为抛物线C的焦点，设P为直线l∶x-y-2=0的点，过点P作抛物线C的两条切线PA,PB.

（1）在直线l上取点P(4,2)，求直线AB的方程。

（2）当点P在直线l上移动时，求|AF|+|BF|的最小值。

解：（1）抛物线的方程为x2=4y,即y

设A(x1,y1),B(x2,y2)，其中,则切线PA,PB的斜率分别为

同理可得切线PB的方程为x2x-2y-2y2=0因为切线PA,PB均过点P(4,2)。

所以

4x1-4-2y1=0,4x2-4-2y2=0,所以(x1,y1),(x2,y2)为方程4x-4-2y=0的两组解.

故直线AB的方程为4x-2y-4=0,即2x-y-2=0。

（2）由抛物线定义可知|AF|=y1+1,|BF|=y2+1,在直线l上任取一点P(x0,y0)，由（）知直线AB的方程为x0x-2y-2y0=0，联方消去x整理得y2+(2y0-)y+=0。

由根与系数的关系可得

所以当y0=-1时，|AF|+|BF|取得最小值，且最小值为5。

从中可以总结出双曲线也有相似的结论：

在做解析几何题目中平常多归纳，多总结，在题目中充分利用好这些结论会达到事半功倍的效果。