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理解“整式的加减”的规则

2016-12-22孔凡哲祖丹

关键词:同类项化简括号

孔凡哲 祖丹

“整式的加减”是“数与代数”领域的重要内容,是学好“一元一次方程”等其他知识的重要基础。

从人类发展的视角看,“整式的加减”的规则并非人为规定,而是解决实际问题的现实需要,对于合并同类项法则是如此,对于去括号法则也是如此。

例1如图1所示,餐厅的1个长条桌旁最多可坐6人,遇到小型聚会,餐厅老板总是按照顾客要求,将长条桌并在一起(如图2所示),按照这种方式摆x个长条桌,可以坐多少位顾客?

下面是几位同学的答案,我们一起来揭示他们思考的过程。

4同学说:“当摆x个这样的长条桌时,可以坐(2x+2x+1+1)位顾客,如图3,当摆z个长条桌时,这些长条桌的上侧可以坐2x位顾客,这些长条桌的最左边、最右边可以各坐1位顾客,这些长条桌的下侧可坐2x位顾客,所以,当摆x个长条桌时,一共可坐(2x+2x+l+1)位顾客。”

B同学说:“我的答案是2+4x,如图4,当摆x个长条桌时。最左边、最右边可以各坐1位顾客,当摆1个长条桌时,我就加上4个座位,一共可坐2+4=6(位)顾客;当摆2个长条桌时,我就加上2x4个座位,一共可坐2+2x4=10(位)顾客;当摆3个长条桌时,我就加上3x4个座位,一共可坐2+3x4=14(位)顾客,依此类推,我得到的答案就是(2+4x)位顾客。”

C同学说:“我认为,6x-2(X--1)是正确答案,请看图5,当摆1个长条桌时,可坐6位顾客;当摆2个长条桌时,有6×2=12(个)座位,但是,有2个座位是无法坐的(如图5中的阴影座位),所以,可坐6x2-2x(2-1):10(位)顾客;当摆3个长条桌时,有6x3=18(个)座位,有无法坐的座位2x(3-1)=4(个),也就是,一共可坐6x3-2x(3-1)=14(位)顾客,因此,我得到的答案是[6x-2(x-1)]位顾客,”

D同学说:“答案应该是6+4(x-1),当摆1个长条桌时,可坐6位顾客;当摆2个长条桌时,在1个长条桌的6个座位基础上加上4个,即可坐6+4x(2—1)=10(位)顾客:当摆3个长条桌时,在2个长条桌的0个座位基础上加上4个,即可坐6+4x(3-1)=14(位)顾客,因而,摆x个长条桌就应该可坐[6+4(X-1)]位顾客,也可以理解成,只有第一个长条桌旁有6个座位,剩下的长条桌旁都只有4个座位(如图6所示),”

同一个问题,为什么答案不一样呢?谁的答案正确呢?考虑到字母x取值的任意性,我们来验证一下(参见表1),

从表1中我们可以发现,这四个整式的结果总是相同的,那么,是不是说四位同学所得的式子都相等呢?

这是我们的猜想!而且这个猜想是合理的(起码就我们验证的数字来说,是对的),同时,可以发现,在四个式子中,2+4x是最简单的,计算起来也最简单,

猜想1:2x+2x+1+1=2+4x,

思考过程:我们可以将这个多项式中的相同的项加在一起,即2x+2x=4x,1+1=2,因而,2x+2x+1+1=2+4x是有道理的,

猜想2:6x-2(x-1)=2+4x

思考过程:如果这个等式成立,那么,必然有2x-2(x-1)=2,也就是说,-2(x-1)必须等于2x+2,可以发现,去掉括号前的负号,括号内的各项的符号都要变号!

猜想3:6+4(x-1)=2+4x,

思考过程:如果这个等式成立,那么,必然有4(x-1)=4x-4,也就是说,去掉括号,括号内的各项,都要同时乘以括号前面的数字!

在上面这个问题的解决中,我们实际上“发现”了去括号法则和合并同类项法则,

如何理解合并同类项?同类项的分类标准是什么?下面我们一起来看一道例题,

例2化简多项式4x+7+x2+3x-2x2-5+y-3y。

在化简多项式时,我们需要对单项式进行分类、合并,以减少项数达到化简的目的,根据不同的分类标准得到不同的解题方法(如表2),

为了将代数式化为最简,总结表2中两种分类标准的局限性,将具有相同字母,并且相同字母的次数相同的单项式作为分类标准,可以这样化简:

(x2-2x2)+(4x+3x)+(7-5)+(y-3y)=-X2+7x+2-2y。

由此,我们可以发现,合并同类项之后,所得项的系数是合并前各同类项的系数之和,

如果多项式内有括号时,需要先将括号去掉再根据同类项的定义对其进行分类,

例如,对于多项式a(x-3)和多项式-a(x-3),类比数的乘法分配律,应该这样化简:

a(x-3)=ax-3a,-a(x-3)=-ax+3a,

根据去括号时符号的变化规律,我们得到如下口诀:

去括号,看符号,加不变,减全变。

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