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从确定的数到抽象的字母

2016-12-22田载今

关键词:交换律加数式子

田载今

人们为什么要用字母表示数?什么是整式?数的运算和整式的运算有哪些相似之处?请大家认真听田老师讲一讲吧。

数的产生既来源于实际生产和生活的需要,又来源于研究数学问题的需要,例如,为区别收入1元和支出1元,可以将它们分别记为1元和-1元,而有了-1,像1-2这类“小减大”的数学问题也得以解决。

每个数都是一个具体确定的值,由数组成的算式的运算结果也是确定的值,例如,1+2表示l和2这两个大小确定的值相加,所得结果3也是一个确定的值,正因为数具有确定性,所以人们研究确定的量时离不开数,

数的确定性虽然使数能精确地表示量的大小,但是又使数的使用受到限制,研究一股性问题时,只有具体的数就不够了,例如,要用式子表示加法交换律,就不能用l+2:2+l,也不能用2+3=3+2,因为这样的式子都只能表示“某两个具体的数相加时,交换加数的位置,和不变”,而加法交换律是一般运算律,它适用于任意两个加数,不能用某两个具体的数来表示,研究含有未知数的数量关系时,同样不能只用具体的数,例如,要用式子表示“某个数的3倍比另一个数的2倍大1”,就要注意这里的“某个数”和“”一个数”都是未知数,虽然用具体的数可列出3×5=2x7+l,3x7=2x10+1,3x9=2x13+1等一系列式子,但是满足这一数量关系的“某个数”和“另一个数”有无穷多组,用有限多个式子无法完全表示它们。

随着数学的发展,人们越来越关注一般性问题,含有未知数的数量关系成为人们经常研究的内容,这促使数学语言也要与时俱进,突破只能使用具体的数的限制,为此,人们逐渐想到用抽象的符号代替具体的数,而字母就是一种使用起来很方便的符号,例如,用式子a+b=6+a表示加法交换律,这里的字母a和b没有确定的值,它们可以表示任意两个数,于是这个式子就有了一般性,义如,用式子3x=2y+1表示“某个数的3倍比另一个数的2倍大l”,这里的字母x和y没有确定的值,它们可以表示满足这一关系的任意两个数,包括“x=5,y=7”“x=7,y=10”“x=9 y=13”等无穷多种情形。

代数学是数学的一个重要分支,清代学者华蘅芳在他和英国人傅兰雅合译的西方数学著作《代数学》的卷首写道:“代数之法,无论何数,皆可以任何记号代之,”这显示出代数的基本方法起源于用符号表乐数,

1591年,法国数学家韦达(1540-1603)最先在数学著作中系统地用字母表示数,韦达认为:用字母表示数,可使一般性问题成为研究对象,让数学从传统的侧重于数的运算的算术中得到发展,韦达的创举促进了代数学的诞生,因此他被后人称为“代数学之父”。

有了用字母表示数的创举,式子中便可以出现字母(字母还可以表示未知数),这样的式子更适合用来研究一般性问题,所以这种由数与字母组成的式子成为代数研究的基本内容。

人教版初中数学教科书的第二章是“整式的加减”,整式是一种最简单的代数式,加减法是最基本的整式运算,运算的主要方法是合并同类项,这一章是代数式内容的入门章,也是大家后续学习的重要基础。

在代数式中,字母的地位比数要高,式子的分类,一般以其中字母的情况为标准,例如,区分整式与分式的方法是看分母中是否含有字母,整式中可以有分母,但分母中不能有字母,例如,a/2的分母中没有字母,它属于整式:2/a的分母中有字母,它不属于整式,

因为整式中的字母是用来表示数的,所以它们可以像数一样进行运算,数的运算法则和规律对整式的运算仍然适用,整式也有加减乘除四则运算,人教版教科书中分两次安排了这些内容,第二章只讨论整式的加减运算,乘除运算到八年级再讨论,通过第一章的学习,我们已经知道,在有理数的运算中,减法可以转化为加法,减去数a就等于加上它的相反数-a,这样加减法就可以统一了,因此,整式的加减法也可以统一起来认识,都看作求代数和的加法。

电子计算机的发明是20世纪人类最伟大的成就之一,在它的发明和应用过程中,用字母表示数的方法发挥了重要作用,下面是一个简单的例子:要给计算机编制一个程序,求l+2+3+…+19999+20000的和,图1是对应的程序框图,这是一个循环结构的计算过程,其中的字母i表示一个取值从1开始,逐次加1,直至20001为止的变量:字母S表示随着加数不断增加而逐渐增大的和,计算机开始运行程序后,字母i作为加数按1,2,3,…,20000的顺序逐次加到5中:字母5作为和按O,0+l,0+l+2,0+1+2+3,…,0+1+2+3+…+19999+20000的顺序增大,当i=20 001时,计算结束,输出最终结果200010000,可以看出。字母i和S在程序中有非常重要的作用。

从确定的数到抽象的字母,研究对象的发展是数学前进的一座里程碑,正如数学家华罗庚所说:“数学的特点是抽象,正因如此,用符号表示数就更具有优越性和广泛的应用性。”

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