李云红，吕文静

(1.河北科技大学理学院,河北石家庄 050018；2.河北科技大学总务处,河北石家庄 050018)



一类Caputo分数阶微分方程正解的存在性

李云红1，吕文静2

(1.河北科技大学理学院,河北石家庄 050018；2.河北科技大学总务处,河北石家庄 050018)

为了研究一类带p-Laplacian 算子的Caputo分数阶微分方程边值问题正解的存在性，通过计算得到该问题的格林函数，并讨论其性质。运用单调迭代方法，得到该边值问题至少存在2个正解，最后通过实例验证了此类方程边值问题正解的存在性。

常微分方程其他学科；Caputo分数阶微分；正解；单调迭代方法；边值问题

微分方程是现代数学的一个重要分支，它在几何、力学、航天、经济等领域都有着广泛的应用。近年来，分数阶微分方程边值问题成为许多数学工作者的研究热点[1-14]。

本文讨论带p-Laplacian算子的边值问题的正解情况，

在本文中，总假设下面条件成立：

H1)μ1>0,μ2>0,0<η<1,ρ=η+μ1-μ2,ρ>0,(α-1)μ2≥1；

H2)f:[0,1]×[0,+∞)→[0,+∞)是连续的；

1 预备知识

为证明结论，需要利用下面的预备知识[15-16]。

定义1 函数y:(0,+∞)→R的α>0阶Riemann-Liouville积分定义如下：

其中右边是在(0,+∞)上逐点定义的。

定义2 函数y:(0,+∞)→R的α>0阶Caputo微分定义如下：

其中n=[α]+1,右边是在(0,+∞)上逐点定义的。

其中N是大于或等于α的最小整数。

2 主要结果

引理2 边值问题(1)等价于

(2)

其中：

(3)

(4)

(5)

两边从0到t积分，利用引理1得

因此，

对上式两边从0到t积分，利用引理1得

利用式(1)中的u″(0)=0,得d2=0，所以

(6)

由式(6)，可得

(7)

由式(6)、式(7)和式(1)中的u(0)=μ1μ′(0),可得

d0=μ1d1。

(8)

由式(6)—式(8)和式(1)中的u(η)=μ2u′(1),可得

证明完毕。

引理3 引理2中的ϖ(s)≥0，对于0≤s≤t≤1。d1≥0。G(t,s)≥0且k1p(s)≤G(t,s)≤k2p(s)，

证明 由条件H2)可得f(t,u(t))≥0,因此对任意的0≤s≤t≤1,有：

由条件H1)可得μ2>0,0<η<1,ρ=η+μ1-μ2>0,(α-1)μ2≥1,因此

当0≤s≤min{t,η}≤1时，

所以k1p(s)≤G(t,s)≤k2p(s)。又因为(α-1)μ2≥1，所以k1≥0，因此G(t,s)≥0。其他区间的证明类似，省略。