胡健生， 宋祖勋， 张倩， 郭淑霞

(1.西北工业大学 电子信息学院，陕西，西安 710072；2.武警工程大学 信息工程系，陕西，西安 710086)



OFDM压缩感知信道估计中导频图案设计

胡健生1， 宋祖勋1， 张倩2， 郭淑霞1

(1.西北工业大学 电子信息学院，陕西，西安 710072；2.武警工程大学 信息工程系，陕西，西安 710086)

为提高基于压缩感知的正交频分复用(orthogonal frequency-division multiplexing，OFDM)系统信道估计性能，研究了导频图案设计问题. 在分析传统导频设计准则所存在问题的基础上，将测量矩阵和单位阵之间的欧式距离作为测量矩阵相关性的定义，进而得到新的基于互相关性最小化的导频设计准则；同时提出一种基于并行树的循环替换导频搜索算法，在每次循环时，依次替换各分枝节点中的每个导频位置，按照导频设计准则，采用先分枝内后分枝间选优的方法，避免了局部最优但全局错误的问题. 仿真结果表明，使用新准则来设计导频可以提升稀疏信道估计效果，同时新的导频搜索算法具有较好的收敛性.

正交频分复用；压缩感知；导频；相关性；搜索算法

近年来，针对无线信道的稀疏特点，压缩感知理论(compressed sensing， CS)开始应用于信道估计中，即OFDM压缩感知信道估计，也称为OFDM稀疏信道估计，相比传统的最小二乘(least squares， LS)和最小均方误差(minimum mean square error， MMSE)信道估计，降低导频开销的同时，也提高了信道估计精度[1-3]，导频图案设计是OFDM压缩感知信道估计中的关键问题之一.

与传统的LS和MMSE信道估计方法不同，基于压缩感知的信道估计并不是在导频等间隔分布时效果最好，为了确保稀疏重构精确度，导频图案的设计都是以测量矩阵互相关性最小化为准则的，传统的测量矩阵互相关性定义是指它的不同列向量之间内积的最大值，经典文献[4-10]都是使用上述准则提出不同的搜索算法：He Xueyun等[4]随机地生成的一定数量的导频图案候选集合，从中选择相关性最小的作为最优图案，将其推广到多输入多输出(multiple-input multiple-out-put，MIMO)系统中[5]，该方法虽然简单，但是结果取决与备选集合规模；Singh等[6]提出一种后向删除快速搜索算法，实现了次优导频位置的搜索，但是这种算法属于贪婪算法，不能保证全局最优性；而Pooria等[7]利用树结构对Singh等[6]中的算法进行了优化，但其本质上仍属于删除算法，效果提高并不明显；Jellali等[8]及Qi Chenhao等[9]分别提出了基于概率和互熵的搜索算法，计算量过大，并且与所使用的稀疏重构算法有关，不具有通用性；戚晨皓等[10]提出一种基于双循环的搜索算法，通过灵活设置内外循环次数实现了对导频序列的优化，相对目前已有的搜索算法，性能较好，但由于其外部循环之间相互独立，会发生局部最优的情况，收敛性能并不理想. 因此，随着OFDM系统子载波数量的增多，如何在较短的时间内找到互相关性较小的子载波集合作为导频是值得研究的问题. 另外，上述传统的互相关性定义虽然简化了问题，但仅能反映测量矩阵中列向量的最大相关程度，并不能代表所有列向量的相关程度，并且研究这一问题的文献甚少. 尽管He Xueyun等[11]提出了一种基于门限值的互相关性定义方法，在一定程度上降低了整体互相关程度，但是门限值的选择依赖于系统参数，不够灵活.

鉴于此，本文对测量矩阵的互相关性进行了新定义，并以此设计了导频设计准则和一种导频搜索算法，并对它们的性能进行验证.

1 基于压缩感知的OFDM信道估计问题描述

对于一个具有N个子载波的OFDM系统，其中p1，p2，…，pNp是Np个导频位置，假设 1≤p1

(1)

式中：η(1)，η(2)，…，η(Np)为独立同分布的高斯白噪声；FNp×L为一个DFT子矩阵，

上述数学模型用向量表示如下：

Xdiag[x(p1) x(p2) … x(pNp)]，

令

AXFNp×L.

(2)

进而式(1)可以表示为

y=Ah+h.

(3)

如果矩阵A的行数比列数大，即Np≥L，则式(3)是一个标准的LS估计问题. 但是实际上，对于绝大多数的无线信道而言，采样周期通常要远小于信道时延扩展，并且冲激响应h中的绝大多数抽头幅度为0，或者近似为0，也就是说h是稀疏的. 这种情况下，就可以利用压缩感知理论，使用数量小于未知信道长度的导频来进行估计，即Np

2 导频设计准则

2.1 传统设计准则及其存在的局限性

文献[5]指出，若矩阵A满足有限等距性质(restricted isometry property，RIP)，则在无噪声的情况下，利用y和A能以很高的概率重建h. 然而，任意给定一个矩阵A，很难验证其是否满足RIP条件. 一种相对便捷的途径是研究A的互相关性，A的互相关性越低，稀疏重构的概率就越高.

传统的矩阵A的互相关定义如下[6-10]：

(4)

其中Ap为矩阵A的第p列，将式(2)代入到式(4)中，得到

(5)

假设发送的导频功率相同，即

(6)

令c=q-p，则式(5)可以表示为

(7)

对A的列向量进行归一化处理后，再令G=AHA，G中的每个元素表示为gij，其中i，j∈(0，L-1)，则G是一个对角线元素为1的对称矩阵，非对角元素的大小就是矩阵A中不同列向量的内积值. 因此，式(7)又可表示为

(8)

由式(7)可以看出，矩阵A互相关性的大小与导频位置P=[p1p2…pNp]有关. 因此，传统的OFDM压缩感知信道估计时的导频设计准则就是要找到一组导频位置(导频图案)，

，

使用具有较小μ值的导频图案，得到的信道估计效果不一定较好[11]，这是因为式(4)关于测量矩阵的互相关性定义仅能反映测量矩阵中列向量的最大相关程度，并不能代表所有列向量的整体相关程度. 为此，本文提出了新的互相关性定义和相应的导频设计准则.

2.2 新的导频设计准则

在理想情况下，若A中所有列向量都不相关，即A中所有不同列向量的内积值为0，这就意味G中所有非对角元素值为0，则G变成单位矩阵I. 但实际上，A不是一个方阵，G也不可能变成I. 因此，G与I越相似，A中不同列向量之间就越不相关，即A的互相关性越小. 而G与I的相似程度，可以用欧氏距离(2范数)来量化，因此，最终可将测量矩阵A的互相关性定义如下：

(9)

由于G是一个对角线元素均为1的对称矩阵，若只考虑下三角部分，式(9)又可以写成

此时，OFDM导频设计准则就转换为如下最优化问题，

(11)

3 基于并行树的循环替换导频搜索算法

在2.2节中导频设计准则的基础上，本节提出一种基于并行树的循环替换导频搜索算法. 具体步骤如下.

步骤2 外部循环. 进入第r(r≤T)次循环，每次循环都依次执行步骤3和步骤4.

在并行树结构中，第s-1次替换后所产生的M个最终备选节点，不一定都能生成第s次替换后的最终备选节点，即在某次替换时并行树的每个分枝不一定都能生成下一次替换的有效分枝. 图1以2分枝树3次替换(M=2，Np=3)为例进行了说明，其中阴影节点为每次替换所被选择的最终备选节点.

4 仿真验证

4.1 应用不同导频设计准则时的信道估计性能

比较现有的导频设计准则和本文所提出新准则的性能差异时，OFDM系统和信道参数按照文献[11]设置，进行5 000次实验。每次实验分别使用等间隔导频下的LS估计法(LS)和不同导频图案下的基于压缩感知的信道方法，随机产生500组导频图案，并按照传统互相关性定义下的设计准则(传统)、文献[11]中改进的设计准则(文献[11])以及本文提出的新设计准则(新准则)分别找到最优导频图案。在基于压缩感知的信道估计中，分别使用上述3种准则下的最优导频图案和等间隔的导频图案(等间隔)。不同信噪比下的MSE平均值和误码率(biterrorratio,BER)平均值如图2和图3所示.

通过仿真实验，可以得出以下结论：① 对于在稀疏信道环境下，通过合理地设计导频图案，基于压缩感知的信道估计效果要远好于传统LS估计；② 在设计导频时，使用测量矩阵相关性最小化准则的效果要远好于等间隔的导频分布；③ 相比传统的设计准则和文献[11]中的改进准则，使用文本提出的准则，在未进行任何信源编码的前提下，同样达到2%的误码率，相比前两者分别节省了7dB和3dB的信噪比，因此本文提出的设计准则在统计上是最优的.

4.2 导频搜索算法性能分析

与现有的导频搜索算法相比，文献[10]中的双循环法性能最好，对算法的性能和计算复杂度控制灵活，因此为了验证本文所提出的搜索算法性能，可将文献[10]中的方法作为参照对象. 同时，文献[10]中所提出的基于双循环的搜索算法，实质上是一种各分枝独立的树结构，其外循环次数可以看作为树的分枝数目，而内循环次数就是本文中的循环次数，因此两者的复杂度是相同的，取决于树的分枝数和循环次数. 这里分别比较分枝树为2和3时，在不同循环次数下，两种算法的收敛情况，结果分别如图4和图5所示.

可以看出采用2分枝的树结构时，使用新算法只需要9次循环就可实现收敛，而使用文献[10]中的算法，尽管当循环次数为15时已经达到了最小值，但由于各分枝是独立的，必须要待所有分枝都实现达到收敛时，才能作比较选优，共需要24次循环. 而在三分枝的树结构中，两种算法对应的收敛循环次数分别为8和24，且前者所实现的最小值要优于后者，可见本文所提出算法的收敛性明显优于文献[10].

5 结 论

研究了基于压缩感知的OFDM信道估计时导频设计中的两个关键问题，即设计准则和搜索算法. 提出一种关于测量矩阵互相关性的新定义及相应的导频设计准则，相比传统及一些改进的测量矩阵互相关性定义，该定义更能反映出测量矩阵列向量间的整体不相关程度，使用相应的准则进行导频设计获得的信道估计结果在统计上是最优的. 同时，提出一种基于并行树的循环替换导频搜索算法，可在较短的时间实现收敛，通过合理的设置参数，可以实现性能和计算复杂度的折中，适用于更多的应用场合.

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[3] Singh Istdeo， Sheetal Kalyani， Giridhar K. A practical compressed sensing approach for channel estimation in OFDM systems[J]. IEEE Communications Letters, 2015,19(10):2146-2149.

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[6] Singh Istdeo， Kalyani Sheetal， Giridhar K. A practical compressed sensing approach for channel estimation in OFDM systems[J]. IEEE Communications Letters, 2015,19(10):2146-2149.

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Qi Chenhao， Wu Lenan， Zhu Pengcheng. Sparse channel estimation and pilot optimization for cognitive radio[J]. Journal of Electronics & Information Technology， 2014，36(4):763-768. (in Chinese)

[11] He Xueyun， Song Rongfang， Zhu Weiping. Optimal pilot pattern design for compressed sensing-based sparse channel estimation in OFDM systems[J]. IEEE Transaction on Circuits Systems Signal Process， 2012，31(4):1379-1395.

(责任编辑：刘芳)

The Pilot Pattern Design for OFDM Compressed Sensing Channel Estimation

HU Jian-sheng1， SONG Zu-xun1， ZHANG Qian2， GUO Shu-xia1

(1.School of Electronics and Information， Northwestern Polytechnic University， Xi’an, Shaanxi 710072，China; 2.Department of Information Engineering， CAPF of Engineering University， Xi’an, Shaanxi 710086， China)

In order to improve the channel estimation performance of OFDM (orthogonal frequency-division multiplexing) based on compressed sensing, the problem of pilot pattern design was discussed. Analyzing the problem of traditional pilot design criterion, the Euclidean distance between the measurement matrix and the identity matrix was used as the definition of correlation of measurement matrix. Then a new pilot design criterion was gotten based on correlation minimization. At the same time, a cyclic substitution search algorithm based on the parallel trees was also proposed. At each cycle, only one pilot position of each branch was substituted. According to the pilot design criterion, the better ones were chosen in every branch first and among all the branches latter to avoid the locally-optimal but globally-incorrect selections. Simulation results demonstrate that the new pilot design criterion can obtain substantial improvement in sparse channel estimation, while the new search algorithm has better convergence.

OFDM(orthogonal frequency-division multiplexing); compressed sensing; pilot; correlation;search algorithm

2015-12-16

国家自然科学基金资助项目(61571368)；国家部委预研项目(9140A25030511HK0340，9410C39051120C39149)

胡健生(1984—)，男，讲师，博士生，E-mail:hujiansheng121@163.com.

TN 911.23

A

1001-0645(2016)11-1183-05

10.15918/j.tbit1001-0645.2016.11.016