李宝麟,张珍珍,张元德

(西北师范大学 数学与统计学院,甘肃 兰州 730070)



Carathéodory方程解对参数的连续依赖性

李宝麟,张珍珍,张元德

(西北师范大学 数学与统计学院,甘肃 兰州 730070)

Carathéodory方程能转化为广义常微分方程的形式,利用广义常微分方程解对参数的连续依赖性证明了Carathéodory方程解对参数的连续依赖性定理。

Carathéodory方程;广义常微分方程;Kurzweil积分;连续依赖性

Kurzweil[1]在1957年首次提出了广义常微分方程,并对广义常微分方程进行了研究,得出了许多有用的结果。而且很多其他形式的方程都能转化为广义常微分方程,包括脉冲微分方程、测度微分方程[2]、时间轴上的动力微分方程[3]和一些其他方程等。众所周知,在适当的条件下,广义常微分方程的解关于参数具有连续依赖性[1]。研究借助广义常微分方程解关于参数的连续依赖性[4-8]得到Carathéodory方程的解对参数的连续依赖性。

考虑Carathéodory方程:

(1)

1 预备知识

首先介绍广义常微分方程与Kurzweil积分的相关理论。

定义1 函数F∶[a,b]×[a,b]→Rn在区间[a,b]上称为Kurzweil可积的[6],如果存在向量I∈Rn,对任意的ε>0,在区间[a,b]上存在正值函数δ,使得对区间[a,b]上的任何δ-精细分划D,都有

(2)

定义2 一个函数x∶[a,b]→Rn,如果对所有的s∈[a,b],有

则称函数x为广义常微分方程

(3)

的解[2]。

定义3 设函数F∶G→Rn,如果F属于函数族F(G,h,ω)[2],则对所有的(x,s2),(x,s1)∈G,有‖F(x,s2)-F(x,s1)‖≤|h(s2)-h(s1)|,

(4)

且对所有的(x,s2),(x,s1),(y,s2),(y,s1)∈G有‖F(x,s2)-F(x,s1)-F(y,s2)+F(y,s1)‖≤ ω(‖x-y‖)|h(s2)-h(s1)|,

(5)其中:h∶[a,b]→R为不减函数;ω∶[0,+)→R为连续的增函数,且ω(0)=0。

(6)

引理4 假设F∶G→Rn满足条件(4)。如果[α,β]⊂[a,b]且x:[α,β]→Rn是方程(3)的解,则对任意的s1,s2∈[α,β],不等式

‖x(s1)-x(s2)‖≤|h(s2)-h(s1)|

成立[2],其中h∶[a,b]→R为不减函数。

进一步,我们很自然地可以假设

(7)

(8)

引理7 假设Fk∶G→Rn属于函数族F(G,h,ω),k=0,1,…,且对(x,t)∈G,有

(9)

成立。令xk∶[α,β]→Rn,k=1,2,…是广义常微分方程