●裘靖

0划归自然数引发的思考

●裘靖

0是不是自然数一直是一个很有争议的话题，世界各国定义不同。前苏联数学教材里认为0是整数，而非自然数，自然数即正整数，而欧美教材则把0归为自然数，自然数即非负整数。新中国成立之后，我国的教材受前苏联的影响，一直把0归为整数，而非自然数，认为最小的自然数是1。随着改革开放，很多西方国家的观点渗入进来，于是为了和国际接轨，从1993年起《中华人民共和国国家标准》就把0归到了自然数的范畴，最小的自然数由1变成了0，我们使用的中小学教材也陆续做了更改。然而几十年过去了，与0相关的一些问题，如，0是不是合数，最小的一位数是不是0等，教师们仍然很困惑！而笔者认为把0归不归为自然数都有道理，说0不是自然数，因为0不是序数，数物体时它没有办法与一定数量的物体建立起对应的关系；说它是自然数，因为它有基数的含义，一个物体也没有就用0来表示。所以0是不是自然数只是一个规定而已，只是一个它所属类别的问题，并不影响0本身的意义和它的本质属性。因此要厘清0的相关概念，关键是看0是否具备这些概念的本质特征，而不是0的归属问题。下面笔者就0成为自然数后对小学数学教学带来的影响谈谈自己的看法。

一、教材中“为了方便，在研究因数和倍数的时候，我们所说的数指的是自然数（一般不包括0）”引发的思考。

过去自然数即正整数，教师们在教学因数和倍数时没有疑议，都认为自然数按是否是2的倍数分为两类：奇数和偶数，按因数的个数分为三类：1、质数和合数。最小的偶数是2，最小的奇数是1，最小的质数是2，最小的合数是4。可是当0归为自然数后，改版后的教材特别说明“本单元所指自然数一般不包括0”。然而这“一般”二字就给学生和教师带来困惑，到底什么时候考虑0，什么时候不考虑0？特别是教材明确指出0也是偶数。那大家自然会问：0是偶数，那0是不是质数或合数呢？

刚才说到0是不是自然数，只是一个它所属类别的问题，并不影响0本身的意义和属性。下面我们就来研究一下“0”。

1．“0”是不是某些自然数的倍数？

倍数、因数的概念是在整除的前提下产生的，那什么是整除呢?小学的定义：整数a除以整数b(b≠0),除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除（也可以说b能整除a)。或者说，在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数（2013版人教社教材）。初等数论里的概念：对整数a，b（b≠0），若存在整数c，使a＝bc，则称b整除a，a能被b整除。无论哪种解释，始终只强调了0不能作除数。由于0除以任何非0整数结果都是0，所以0是任意非0整数的倍数，任何非0整数都是0的因数。

2．“0”是不是合数？

有教师认为既然0是所有非0自然数的倍数，那0必定拥有3个以上的因数，所以0是合数。其实不然，0究竟是不是合数，关键要看合数的定义。教材中是这样描述合数的：“一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。”而0拥有无数个因数，确单单少了它“本身”这个因数。因此，它不具备合数的本质属性，不能归为合数。假设0是合数，那么它能用质因数相乘的形式表现出来吗？这就与“每个合数都可以写成几个质数相乘的形式”产生了矛盾。所以，笔者认为0既不是质数，也不是合数。这也许就是新教材把自然数的分类删掉的原因吧！

3.为什么在因数和倍数单元要强调一般不包括“0”。

因为0归为自然数后，如果不把0排除，一个数的最小倍数就是0,0的因数有无数个，与我们过去研究的“一个数的最小倍数是它本身”、“一个数的因数的个数是有限的”相矛盾，不便于因数和倍数的对比。另外最小公倍数如果不把0排除，研究它就没有任何意义了，也不能为后面的通分服务。所以为了研究方便，在这个单元里出现的因数、倍数、公因数、公倍数等，都将0排除在外，这样就避免了一些不必要的麻烦。

二、习题中“最小的一位数是什么”引发的思考

在0没有被纳入自然数范畴之前，最小的一位数是1，这个没有争议，这首先说明了我们所说的一位数是在自然数范围内研究的，这样就不会有最小的一位数是-9的疑议。但是当0也加入了自然数的队伍，那么最小的一位数是不是该变为0呢？笔者的答案是否定的！

1.最小的一位数是1

要确定0是不是一位数，关键要看一位数的概念。九年义务教育六年制小学数学第八册教师教学用书第98页“关于几位数”是这样叙述的：“通常在自然数里，含有几个数位的数，叫做几位数。例如，2，含有一个数位的数，叫做一位数；30含有两个数位的数，叫做两位数；405含有三个数位的数，叫做三位数……但是要注意：一般不说0是几位数。《小学数学问答手册》（北京师范大学出版社，1993年3月1版，第13页）是这样描述一位数和几位数的：用一个不是0的数字写出的数叫做一位数。例如：1、3、9……在一个数中，数字的个数是几（其中最左端的数字不是0），这个数就叫做几位数。判断最小的一位数是几，只能用一位数的定义来判断，与0是否划规为自然数无关。从上面的定义中可知，最小的一位数是1而不是0。

2.为什么不说0是一位数呢？

首先为什么要规定一个数的最高位不能是0。因为若没有这样的规定，0就是最小的一位数，由此可以得出最小的两位数是00，最小的三位数是000。不仅如此，若没有这样的规定，对一个数也就无法确定它是几位数了。例如，15是两位数，“015”就变成了三位数，“0015”就变成了四位数。这样，同一个数我们可以随意称它为几位数，“位数”这一概念的存在也就没有必要了。其次，就像小学阶段因数和倍数单元不研究“0”一样，它会给我们带来一些不必要的麻烦，例如：三位数乘一位数的积是几位数？如果0是一位数，是不是还要说明积可能是三位数、四位数，还有可能是一位数。完全没有必要。

3.0不是一位数，是几位数呢？

如果说0不是一位数，那0究竟是几位数呢？从数学理论上讲0的位数是-∞。一个数的位数不同的进制是不一样的，拿我们现在学的十进制来说，一个自然数A，如果10n-1≤A＜10n则A是一个n位数。例如：101≤18＜102，所以18是两位数，再如103≤1000＜104，所以1000是四位数。0呢？它是一个极限值，它等于10的无穷大分之1，所以它的位数是-∞。

4.在小学阶段，探讨0的位数有没有意义？

笔者认为是没有意义的。①对于0的认识，教材本身就特殊对待了，一年级上学期的教材从目录上看，1——5的认识和加减法，6——10的认识和加减法，11——20各数的认识，至于0，教材把它放在第三单元的末尾，并且是从计算中引入，让学生在计算与图片中感受，0表示一个物体也没有。②对于“位数”的概念，教材从头到尾都没有，只有数位。那学生对于位数的概念是怎样建立的呢？在一年级下册的100以内加减法中首次出现整十数加一位数，后面再陆续出现两位数加减两位数，也就是说我们研究位数是为计算找规律，如三位数乘一位数积是三位数或四位数，三位数乘两位数积是四位数或五位数等。为比较大小找方法，如：整数大小的比较，位数多的数大等。而这些都不需要考虑0。所以我个人认为最好的方式是回避，就像在小学阶段研究整除，只在非0自然数里研究一样，研究位数的时候也不需要考虑0。

就像西红柿不管是当水果卖还是当蔬菜卖都不影响它的味道一样，0归为自然数后，0原有的所有特性全部没变，0还是0，它就是一个特殊的数，特殊的数就特殊对待，该回避时就回避！

（作者单位：武汉小学）

责任编辑刘玉琴