丁 杰

(太原理工大学 数学学院,太原 030024)



涉及差分算子的两个问题

丁 杰

(太原理工大学 数学学院,太原 030024)

考虑整函数与其差分算子分担集合的唯一性问题。假设，f为非常数整函数，且满足λ(f)<ρ(f)<∞;a(z),b(z)是两个不同的非常数整函数，使得ρ(a)<ρ(f)和成立。若f与ΔcfCM分担a(z),b(z),则Δcf(z)≡f(z).

整函数;差分;特征函数

假设,f是定义在复平面C上的亚纯函数。运用Nevanlinna理论中的经典记号,如:T(r,f)表示函数f的特征函数;m(r,f)表示近似函数;N(r,f)表示数目函数[1-2]。 另,记S(r,f)表示特征函数的无穷小量,即: 当r→∞且除去r的一个有限线测度外S(r,f)=oT(r,f)成立;当亚纯函数α(z)满足T(r,α(z))=S(r,f)时,称α(z)为f的小函数。 为了定理的叙述方便,笔者给出以下定义。

定义1 如果Q(z,f)为关于f,f′以及f的差分f(z+c)的多项式,且多形式的系数为f的小函数。 则称Q(z,f)为一个差分微分多项式。

Nevanlinna值分布理论在唯一性、复微分方程、正规族等领域有很多应用,这些应用不仅简化了许多原定理的证明,更丰富了原来的理论,得到更多的定理。

1982年GROSSetal[3]证实了下述定理。

随后,有许多数学工作者关注涉及分担集合的唯一性问题[4-8]。

Nevanlinna理论中对数导数引理是证明第二基本定理的基础。 正如对数导数引理在Nevanlinna理论中的作用一样,有穷级条件下对数导数引理对应的差分形式的证明奠定了差分Nevanlinna理论的研究,这个证明的证明是由HALBURDetal[9]与CHIANGetal[10]分别独立完成。 近几年涉及差分形式的值分布理论成为研究的热点问题之一,同时许多数学工作者开始研究涉及差分的唯一性问题和复差分方程[11-14]。

在文献[15]中,LIetal证实了下述定理。

定理B假设f为非常数整函数且满足λ(f)<ρ(f)<∞,ρ(f)≠1;a(z),b(z)是两个不同的非常数整函数使得ρ(a)<ρ(f)和成立。 若f与ΔcfCM分担a(z),b(z),则Δcf(z)≡f(z).

在本文中,减弱了定理B的假设条件,从而改进了上述结果,得到了如下定理。

定理1 假设f为非常数整函数且满足λ(f)<ρ(f)<∞;a(z),b(z)是两个不同的非常数整函数使得ρ(a)<ρ(f)和成立。若f与ΔcfCM分担a(z),b(z),则Δcf(z)≡f(z).

YANGetal[7]证明了一个关于差分方程的结果。

定理C假设q(z)为非常数多项式且b,c∈C为非零常数,则非线性差分方程f3(z)+q(z)f(z+1)=csinbz,

不存在有穷级的整函数解。

在文中,笔者解决了上述问题并得到了以下定理。

定理2 考虑非线性差分方程

(1)

式中：b≠0,p1,p2∈C为常数且p1·p2≠0,n≥3为正整数。

当q(z)为非常数多项式时,式(1) 不存在有穷级整函数解。

当q(z)=q为非零常数且n≥4,式(1) 不存在有穷级整函数解。

1 引理

为了证明定理,需要下面的引理。

引理1 假设fj(j=1,…,n) (n≥2)为亚纯函数,gj(z) (j=1,…,n)为整函数且满足:

2) 当1≤j

3) 当1≤j≤n,1≤h

其中，E⊂(1,∞)为有限的线测度或对数测度。则对所有的j=1,…,n有fj≡0.

引理2 设f为有穷级的超越亚纯函数,考虑差分方程H(z, f)P(z, f)=Q(z, f),其中H(z, f),P(z, f)和Q(z, f)为关于f的差分多项式且H(z, f)关于f和f的差分的总次数为n,Q(z, f)的总次数不大于n. 若H(z, f)中最大次数仅有一项,则对任意的ε>0,至多除去一个有穷的对数测度外有:m(r,P(z,f))=O(rρ-1+ε)+S(r,f).

引理3 假设c为一个非零常数且α为一个非常数的亚纯函数，则微分方程f2+(cf(n))2=α无超越亚纯解，满足T(r,α)=S(r,f).

2 定理1的证明

假设f是一个整函数且满足λ(f)<ρ(f)<∞,则根据Hadamard因子分解定理f可以表示为:

(2)

式中，Q(z)=aqzq+…+a1z+a0为多形式且满足λ(f)=λ(P)=ρ(P)

根据Δcf的定义以及式 (2),可以得到:

(3)

式中，ρ(H)

(4)

式中，α(z)为多项式。

结合式(2),式(3) 和式 (4),有:

(5)

如果α(z)不是一个常数,则应用定理的假设条件ρ(a)<ρ(f),ρ(b)<ρ(f) 以及

引理1,得到矛盾。

因此,α(z)为一个常数。 而引理 1 暗含α(z)≡0,所以式(4) 可以写为:

因此f(z+c)=a(z)+b(z)或者Δcf(z)-f(z)=0成立,而根据假设条件ρ(a)<ρ(f),ρ(b)<ρ(f)可得:f(z+c)≠a(z)+b(z).

所以有Δcf(z)≡f(z).

这就完成了定理1的证明。

3 定理2的证明

假设f为原方程的一个整函数解,则f一定是超越的。 对方程左右两边分别求微分运算,然后得到:

其中，Tn(z,f)为关于函数f的一个微分差分多项式,次数不超过n.

(6)

否则,将引理2应用到上述微分差分方程有:

(7)

因此,α:=b2f2+n2(f′)2是函数f的一个小函数且不恒等于零。 根据引理3,α一定为一个常数。 对b2f2+n2(f′)2=α左右两边分别进行微分运算可以得式(6)成立。 进一步对式(6)求解,可以看出f是下述形式:

(8)

(9)

对上式进行简化有:

(10)

下面根据n的奇偶性分两种情况讨论:

情况1 如果n是偶数,且w(z)为一个超越函数,则有:

⋮

⋮

(11)

上式一共n+3个式子,分别标号(1),(2),…,(n+3). 由式(1)和式(n+3)可得c1≠0,c2≠0. 但是式(n+1)和式(n+2)暗含q(z)为一个常数且q(z)≠0,由式(2),(3),…,(n)中任何一个式子都可以推出c1=0,c2=0. 这明显是个矛盾,因此式(11)不存在有穷级的整函数解。

情况2 如果n是奇数,且w(z)为一个超越函数,不得不再分两种情况。

1)

(12)

既然w(z)是超越的,则一定有:

(13)

上式一共(n+3)个式子,分别标号(1),(2),…,(n+1).由式(1)和式(n+1)易得c1≠0,c2≠0. 但是式(3)和式(4)暗含q(z)为一个常数,q(z)≠0且(2),(3),…,(n)中任何一个式子都可以推出c1=0,c2=0. 这样得到一个矛盾,因此原方程不存在有穷级整函数解。

2) 若n=3,则简化式(9),可得到:

(14)

既然w(z)是超越的,则有:

(15)

[1] 杨乐.值分布论及其新研究[M].北京:科学出版社,1982.

[2] 仪洪勋,杨重骏.亚纯函数唯一性理论[M].北京:科学出版社,1995.

[3]GROSSF,OSGOODCF.Entirefunctionswithcommonprimates,in:FactorizationTheoryofMeromorphicFunctions[J].MarcelDekker,1982:19-24.

[4]FRANKG,REINDERSM.Auniquerangesetformeromorphicfunctionswith11elements[J].ComplexVariableTheoryAppl,1998,37(1):185-193.

[5]LIP,YANGCC.Somefurtherresultsontheuniquerangsetsofmeromorphicfunctions[J].KodaiMathematicalJournal，1995,18:437-450.

[6]YIHX.UniquenessofmeromorphicfunctionsandaquestionofGross[J].ScienceinChina(Ser.A),1994,37(7):802-813.

[7]YIHX,YANGLZ.Meromorphicfunctionsthatsharetwosets[J].KodaiMathematicalJournal,1997,20(2):127-134.

[8]ZHANGQC.Meromorphicfunctionssharingthreevalues[J].IndianJournalofPure&AppliedMathematics,1999,30:667-682.

[9]HALBURDRG,KORHONENRJ.Nevanlinnatheoryforthedifferenceoperator[J].Annales-AcademiaeScientiarumFennicaeMathematica,2005,31(2):463-478.

[10] CHIANG Y M,FENG S J.On the Nevanlinna characteristic off(z+a) and difference equations in the complex plane[J].The Ramanujan Journal,2008,16(1):105-129.

[11] LAINE I,YANG C C.Clunie theorems for difference and q-difference polynomials[J].Journal of the London Mathematical Society,2007,76(3):556-566.

[12] LAINE I,YANG C C.Tropical versions of Clunie and Mohon′ ko lemmas[J].Complex Variables & Elliptic Equations,2010,55(1/2/3):237-248.

[13] YANG C C,LAINE I.On analogies between nonlinear difference and differential equations[J].Proceedings of the Japan Academy(Ser. A),2010,86:10-14.

[14] ZHANG J L.Value distribution and shared sets of differences of meromorphic functions[J].Journal of Mathematical Analysis & Applications,2010,367(2):401-408.

[15] LI X M.Entire functions sharing a finite set with their difference operators[J].Computational Methods & Function Theory,2012,12(1):307-328.

[16] LI P,YANG C C.On the nonexistence of entire solutions of certain type of linear differential equations[J].Journal of Mathematical Analysis & Applications,2006,320(2):827-835.

[17] YANG C C,YE Z.Estimates of the proximate function of differential polynomials[J].Proceedings of the Japan Academy,2007,83(4):50-55.

(编辑：朱 倩)

Two Problems about Difference Operator

DING Jie

(Collage of Mathematics,Taiyuan University of Technology,Taiyuan 030024,China)

In this paper, we investigate the uniqueness theorem of entire functions sharing sets with its difference operators. Suppose thatfbe a non-constant entire function satisfyingλ(f)<ρ(f)<∞,a(z),b(z) be different non-constant entire functions such thatρ(a)<ρ(f).Letfand Δcfsharea(z),b(z) CM, thenΔcf(z)≡f(z).

entire functions;difference;characteristic function

1007-9432(2016)04-0541-04

2014-09-16

山西省自然科学基金资助项目：Hayman 定理的差分对应定理的研究(2014021009-3)；山西省归国留学人员科研基金资助项目:一类复差多分项式值分布及正规族问题的研究(2013-045)

丁杰(1984-)，男，太原人，博士，讲师，主要从事基础数学的研究，(E-mail)dingjie@tyut.edu.cn

O174.52

A

10.16355/j.cnki.issn1007-9432tyut.2016.04.021