凌莉芸，凌 晨

(杭州电子科技大学理学院，浙江 杭州 310018)



严格半正张量特征值互补问题的Pareto-谱估计

凌莉芸，凌 晨

(杭州电子科技大学理学院，浙江 杭州 310018)

针对一类严格半正张量特征值互补问题，研究了其Pareto-特征值的符号特征.在此基础上，利用严格半正张量的常量定义和算子定义，得到了严格半正张量特征值互补问题的Pareto-特征值的上下界估计.

张量；严格半正张量；Pareto-特征值；Pareto-谱

0 引 言

张量特征值互补问题[1]是矩阵特征值互补问题[2-3]和张量特征值问题[4-5]的自然推广，它与矩阵特征值互补问题类似，在许多工程领域有广泛应用[1].但与矩阵特征值互补和张量特征值问题比较,张量特征值互补问题的计算更难[6].例如，求最大Pareto-特征值是NP-难问题，因此需要进行相关估计.本文研究了严格半正张量特征值互补问题的Pareto-谱估计.结合算子范数的性质，刻画严格半正张量特征值互补问题的Pareto-特征值的符号特征和上下界估计，对进一步研究结构性张量特征值互补问题具有重要的理论意义.

1 问题描述及相关预备知识

本文考虑张量特征值互补问题,即求λ∈R和x∈Rn{0},使得：

(1)

下面首先给出有关定义和引理.

引理1[9]设A∈Tm,n.则A是严格半正张量，当且仅当β(A)>0.

命题1 设A∈Tm,n.若A为严格协正，则A必为严格半正.

下面的例子表明，严格半正张量未必是严格协正张量.

针对给定的A∈Tm,n，现在定义连续正齐次算子TA∶Rn→Rn如下：

特别地，若m是偶数，还可定义另一连续正齐次算子FA∶Rn→Rn：

(2)

引理2[10]设A∈Tm,n,则有：

引理3[10]设A∈Tm,n,且A≥0(即A中任一元均非负)，则有……