胡玉华

（江西省赣州市第一中学）

圆的切线证明的常用方法与技巧

胡玉华

（江西省赣州市第一中学）

圆与生活息息相关，太阳从海平面升起，把海平面看成一条直线包含了圆与直线的三种关系，相交、相切、相离。而切线是当中最特殊的，因为只有一个交点，如地面与自行车轮胎等都是相切的实际情况，圆的切线证明方法很多，就如何证明圆的切线谈谈方法技巧。

圆；切线；垂直；半径

证明一条直线是圆的切线除通过交点个数判断外，通常还有两种情况：（1）未已知切点，用作垂直，证半径的方法。（2）已知切点，连半径，证垂直。下面具体说说这两种方法的应用。

一、利用定义来证明

当题目中未出现直线与圆的交点（即切点未出现）时，我们需要过圆心作直线的垂线段，再利用定义，到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线，证明这条直线是圆的切线。

例如：利用角平分线性质证明。

例1.如图1，△ABC中AB=AC，D是BC边的中点，以点D为圆心的圆于AB相切于点E，求证：AC与⊙D相切。

分析：本题中，AC与圆的交点未告知，即不知道切点，所以需要作垂直，通过角平分线性质证明d=r，得出AC是⊙D的切线。

证明：连AD，DE，过D作DF⊥AC

∵AB=AC，BD=CD∴∠BAD=∠CAD

∵AB与圆相切于点E∴DE⊥AB

∵DF⊥AC∴DE=DF∴DF是圆的半径，又DF⊥AC∴AC是圆的切线

图1

二、运用切线的判定定理证明

1.利用角度转化证垂直

利用角度转化，得到角+角=90°

例2.已知：△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF。

（1）如图2，AB为直径，要使EF为⊙O的切线，还需添加的条件是什么（只需写出三种情况）？

（2）如图3，AB是非直径的弦，∠CAE=∠B，求证：EF是⊙O的切线。

分析：第一问是证明切线的最简单情况，已经连接半径，直接证明垂直即可。第二问在第一问的基础上迁移，首先还是要想到连半径证垂直，进而利用同弧所对圆周角相等进行转化，进而证明垂直。

图2

图3

解：（1）①BA⊥EF；②∠CAE=∠B；③∠BAF=90°

（2）连接AO并延长交⊙O于点D，连接CD，

则AD为⊙O的直径，∴∠D+∠DAC=90°

∵∠D与∠B同对弧AC，∴∠D=∠B，又∵∠CAE=∠B，

∴∠D=∠CAE，∴∠DAC+∠EAC=90°

∴EF是⊙O的切线

2.利用全等证垂直

例3.如图4，AB是⊙O的直径，BC⊥AB于B点，连接OC，交⊙O于点E，弦AD//OC，求证：CD是⊙O的切线

图4

分析：要证CD为切线，就要证明∠ODC=90°，即要证明两个三角形全等。

证明：（1）由AD//OC，得∠1=∠2

弧BD所对应圆心角和圆周角：∠BOD=2∠1

而∠BOD=∠2+∠3=∠1+∠3，则∠2=∠3又OB=OD=半径，OC是公共边，所以△COB≌△COD以及BC⊥AB，所以∠ODC=∠OBC=90°

即CD⊥DO于D，即CD是圆O的切线。

总之，几何证明题目千变万化，关键是掌握方法，灵活做出辅助线，合理利用判定定理，掌握好方法技巧，才能以不变应万变，对圆的切线加以判定。

［1］曹文喜.圆的切线的证明［J］.考试，2004（12）.

［2］王晓峰.巧构圆解题［J］.数学月刊，2005（12）.

·编辑孙玲娟