彭凌风，蔺鹏臻

(兰州交通大学甘肃省道路桥梁与地下工程重点实验室，甘肃兰州730070)

箱梁振动时的剪力滞后剪切变形双重效应分析

彭凌风，蔺鹏臻

(兰州交通大学甘肃省道路桥梁与地下工程重点实验室，甘肃兰州730070)

利用翼板剪切变形规律定义了剪力滞翘曲函数，用变分原理推导了考虑剪力滞效应和剪切变形的箱梁振动微分方程、边界条件以及初始条件。由于该微分方程的特殊性，确定了差分法为该方程的有效解法并给出了数值解。通过简支梁算例的计算结果验证了该方法的可行性。在振动时薄壁箱梁的剪力滞效应和剪切变形会对位移和应力产生较大影响，且剪力滞的影响比剪切变形的影响要大。

薄壁箱梁;剪力滞后;振动;剪切变形;差分法

剪力滞后和剪切变形现象在现代桥梁中(尤其是公路桥梁)一直是备受关注的问题。很多学者从事了薄壁箱梁在静载作用下的剪力滞后效应和剪切变形效应研究，且理论已经相对完善，同时也运用到大量的实际工程中［1］。但是在研究桥梁振动方面，相关学者对剪力滞效应和剪切变形影响的探讨还较少。文献［2］利用翼板剪切变形规律定义了剪力滞翘曲函数，已证明其具有未知变量少、分析精度高的特点。文献［3］分析了箱形梁在静载作用下的剪力滞后和剪切变形的双重效应，将剪力滞效应、剪切变形效应的分析纳入有限元系统。文献［4］探讨了箱梁在剪力滞与剪切变形双重影响下的自振特性，最终发现梁的动力刚度和固有频率计算值都会因为剪力滞效应和剪切变形有较大降低。文献［5-6］探讨了连续箱梁、简支箱梁的自振特性，并用解析法分析了剪力滞效应对其的影响。但这种方法仅仅限于对自振特性的研究，却不能应用到强迫振动，从而难以解决工程中遇到的实际问题。本文研究基于剪切变形规律的剪力滞效应和剪切变形对薄壁箱梁振动的影响。

1　振动控制微分方程

首先推导出考虑剪力滞后效应的箱梁(见图1)振动控制微分方程。定义w(x，t)为箱型截面任一点(x，y，z)处的竖向挠曲位移，φ(x，t)为截面的转角，u(x，y，t)为纵向位移，U(x，t)为最大翼板剪切变形差。定义f(y，t)为截面的剪力滞翘曲位移函数。此时箱梁i截面的纵向位移可表示为

图1　薄壁箱梁示意

从以上定义的截面位移表达式中可以看出，截面的转角φ(x，t)和最大翼板的剪切变形差U(x，t)为待求解的未知量。同时需要预先设定与U(x，t)对应的翘曲位移函数f(y，t)。正确反映箱梁翼板剪力滞分布规律的关键是对剪力滞翘曲位移函数f(y，t)的合理定义。从剪力滞效应的机理可知翼板的剪切变形规律控制着翘曲位移函数，所以在翘曲位移函数定义时考虑翼板之间剪切变形的差异显得至关重要。

首先把顶板的翘曲位移函数定义为经典的三次抛物线

因为翼板的剪切变形直接决定了其剪力流，所以根据翼板剪力流之间的关系，可以把悬臂板的翘曲位移函数定义为

式中:ξ2=A2/A1，即悬臂板和内侧板的面积之比。

同理，定义底板的翘曲位移函数为

式中，ξ3=ZxAx/ZsAs。

1.1箱梁振动的能量方程

箱梁的上、下翼板和腹板的应变能之和为

式中:E为弹性模量;G为剪切模量;I为竖向弯曲惯性矩;Iu为引入全部翼板的剪力滞翘曲惯性矩;Au为剪力滞翘曲面积;Iyu为剪力滞翘曲惯性积。

只考虑竖向振动的动能如下

式中:ω·为ω关于时间t的导数;m(x，t)为质量线密度。

计算外荷载所做的功采用以下公式

式中:P(x，t)为荷载线密度;F为外荷载;δ为变分符号。

1.2方程推算步骤

由哈密尔顿原理

将式(1)，(5)，(6)，(7)代入式(8)进行变分，可以推导出振动控制方程、边界条件、初始条件。

控制方程

边界条件

当两端边界条件都是简支时，式(10)变为

初始条件

式(12)～(13)中，ω0(x)，φ0(x)分别为箱梁初始的位移和速度。

2　方程的求解

显然，很难用解析法求解方程式(9)～(13)，又因为w(x)，φ(x)和U(x)耦合，如果用有限单元法求解方程，则假设的形函数很难反映w(x)，φ(x)和U(x)的耦合关系。文献［3］在求得微分方程初参数解的基础上，推导出了能够精确反映w(x)和U(x)耦合关系的单元刚度矩阵。但是，这整个求解过程是相对于静载作用而言的，在本文中，由于m·ω·的存在，故不能用初参数法求得质量矩阵和有限单元法的刚度矩阵［7］。差分法是解答特殊方程常用方法之一，所以本文用差分法求得方程式(9)～(13)的数值解［8］。

3　算例

一简支箱梁截面如图2所示，跨径l为30 m，弹性模量E=3.5×104MPa，材料密度ρ=2.5×103kg/m3。初始条件:ω0(x)=0(0＜x＜l)，φ0(x)=0(0＜x＜l)，突加均布荷载，荷载密度p=500 kN/m，计算0～2 s时的应力和位移，同时求得剪力滞系数。取t=0.005 s，h=0.5 m，计算结果如表1所示。

图2　箱型截面(单位:mm)

表1　跨中截面位移应力在不同条件下的最大值

从上表可以得出:在跨中截面翼板与腹板交接处，其剪力滞剪切变形双重效应影响系数λe为: 14.892 7/12.584 1=1.183 8。

仅考虑剪力滞时影响系数λe为:14.129 4/ 12.584 1=1.122 7。

4　结论

1)利用翼板剪切变形规律定义了剪力滞翘曲函数，并且根据变分原理推导出了振动微分方程、边界条件，为将来研究在外荷载作用下发生强迫振动时，箱梁同时考虑剪力滞效应和剪切变形情况下的双重效应分析奠定了基础。

2)在薄壁箱梁振动时，跨中位移会因为剪力滞效应和剪切变形明显增大，应力集中也更加明显。在跨中截面翼板与腹板交接处，其剪力滞剪切变形双重效应影响系数λe为1.18，而只考虑剪力滞效应时影响系数λe为1.12。

［1］雒敏，蔺鹏臻，孙理想．双室箱梁剪力滞效应的试验研究［J］．铁道建筑，2015(10):56-59．

［2］蔺鹏臻，周世军．基于剪切变形规律的箱梁剪力滞效应研究［J］．铁道学报，2011，33(4):100-104．

［3］刘世忠，吴亚平，夏旻，等．薄壁箱梁剪力滞剪切变形双重效应分析的矩阵方法［J］．工程力学，2001，18(4):140-145．

［4］张永健，黄平明．一种计入剪力滞及剪切变形效应的箱梁自振频率计算方法［J］．郑州大学学报(自然科学版)，2007，28(1):51-55．

［5］甘亚南，吴亚平，王根会，等．剪力滞效应对简支箱梁自振特性的影响研究［J］．兰州铁道学院学报(自然科学版)，2002，21(3):23-25．

［6］甘亚南，王根会，吴亚平．剪力滞效应对连续箱梁自振特性的影响研究［J］．兰州铁道学院学报(自然科学版)，2003，22(3):41-43．

［7］宋一凡．公路桥梁动力学［M］．北京:人民交通出版社，2000．

［8］陆金甫，关治．偏微分方程数值解法［M］．北京:清华大学出版社，2004．

(责任审编 赵其文)

Effect Analysis of Both Shear Lag and Shear Deformation of Box-girder Vibration

PENG Lingfeng，LIN Pengzhen
(Key Laboratory of Road＆Bridge and Underground Engineering of Gansu Province，Lanzhou Jiaotong University，Lanzhou Gansu 730070，China)

Shear lag warping function was defined by flange shear deformation，and the differential equation，boundary condition and initial condition were given with consideration of shear lag effect and shear deform ation of box-girder based on variation principle．Due to the specialty of this differential equation，difference method was the effective solution．The numerical so lutions were given and this method was validated through the numerical analysis of a simply supported girder．In addition，shear lag and shear deformation affected displacement and stress during the vibration of thin-walled box-girder，and the effect of shear lag was more significant than that of shear deform ation．

Thin-walled box-girder;Shear lag;Vibration;Shear deformation;Difference method

U441+．5

A

10．3969/j．issn．1003-1995．2016．11．05

1003-1995(2016)11-0020-03

2016-04-07;

2016-07-05

国家自然科学基金(51168030，51208242，51368031);甘肃省基础研究创新群体项目(1506RJIA029);教育部长江学者和创新团队发展计划(IRT1139)

彭凌风(1992—)，男，硕士研究生。

蔺鹏臻(1977—)，男，教授，博士。