樊 君,雷振亚,谢拥军,2,李晓峰

(1.西安电子科技大学电子工程学院,陕西西安 710071; 2.北京航空航天大学电子信息工程学院,北京 100083)

电大弱散射介质的体积分算法

樊 君1,雷振亚1,谢拥军1,2,李晓峰1

(1.西安电子科技大学电子工程学院,陕西西安 710071; 2.北京航空航天大学电子信息工程学院,北京 100083)

针对电大弱散射介质体的高频散射场计算问题,基于散射场的体积分方程,分别从矢量波动方程和标量波动方程出发,将通常用于求解逆散射问题的波恩近似和里托夫近似引入其中,推导出相应求解电大弱散射介质体的散射场的近似公式.通过利用近似条件简化了散射场、入射场和总场之间的相互作用,在保证一定的计算精度的前提下,避免了传统方法中求解矩阵的复杂步骤,从而节约了计算机资源及时间消耗.算例的数值结果证明了该方法的有效性.

非均匀;介质目标;雷达散射截面;波恩近似;里托夫近似

介质目标的散射特性分析一直是电磁领域研究的热点问题,其中二维分层介质散射作为研究地、海面目标的复合散射及埋地目标探测等的基础,起步较早,研究相对成熟,而三维介质体的电磁分析由于其对天线罩的隐身性能分析、医学成像等领域应用的重要意义以及计算机技术的高速发展也日渐引起学者关注[1-3].特别是对于非均匀有界介质体目标,表面积分方程不再适用,体积分方程则由于其对目标形状和材料的描述更加灵活而成为解决此类问题的最佳选择.通常基于电场的体积分方程来构建电磁场分布模型,依据等效原理,只要求解出介质体内任意点的总场,就可将其作为等效的场源,空间任意位置的场则可依据电磁场的叠加定理看作介质体内各点等效源在该处的散射场的叠加,继而得到空间的场分布.

传统矩量法求解体积分方程通常需要O(N2)的计算机内存和O(N3)的运算量,其中,N为未知量个数,与目标体积成正比,因而,难以处理未知量巨大的电大尺寸目标的散射问题.为克服这一困难,一些快速有效的方法先后被提出,如:基于分块和高层基函数来控制生成矩阵的维数的特征基函数法(Characteristic Basis Function Method,CBFM)[4];通过将单元划分为近区和远区的方式减少基函数之间作用次数,从而降低计算复杂度的快速多极子法(Fast Multipole Method,FMM)[5-6];通过用快速傅里叶变换来计算积分方程中的卷积来降低计算复杂度,而后再用共轭梯度法加速线性方程求解过程的共轭梯度快速傅里叶变换(Conjugate Gradient Fast Fourier Transform,CG-FFT)法[7-8];基于耦合区域划分旨在稀疏化系数矩阵的自适应积分法(Adaptive Integral Method,AIM)[9],以及进一步结合渐进波形估计技术(Asymptotic Waveform Evaluation,AWE)[10]加速计算散射体目标的宽带特性的算法等,这些算法在很大程度上提高了矩量法效率,使得算法对计算机内存和计算资源的需求有所降低.

但是采用这些算法依然需要阶数较大的系数矩阵,尤其对于非均匀介质体的散射问题,为精确描述其中的场分布,单元剖分要求很细,导致未知量个数的急剧增加,使生成的矩阵方程条件数恶化而迭代收敛缓慢,因此,无论是矩阵方程的生成,还是求解对计算机内存及计算时间的需求都大幅增加,都有必要研究更加高效的算法.

笔者针对电大尺寸非均匀介质的散射计算问题,基于体积分方程,引入广泛应用于逆散射综合问题的传统波恩近似[11-12]和里托夫近似[13-14],分别从矢量波动方程和标量波动方程出发,利用近似条件弱化场量间相互关系,使得体积分方程得以简化,避免了大型系数矩阵的复杂求解过程,进而计算了电大尺寸弱散射介质目标的电磁散射特性.最后,分别给出了均匀和非均匀平板目标的单站雷达散射截面(Radar Cross Section,RCS)计算结果对比曲线,验证了文中所提方法的有效性.

1　Born近似

如图1所示,图中深色部分为电磁波作用下的有界非均匀介质散射体,由电磁场波动方程可知,非均匀空间区域中各点的电场满足以下方程:

图1　波动方程作用区域示意图

其中,μ和ε分别是散射体V内的磁导率和介电常数.

而背景介质区域的电场满足如下方程:

其中,μb和εb分别是背景介质区域内的磁导率和介电常数.将式(1)的两边同时减去∇×μ-1b∇×E(r)-ω2εbE(r),可得

以上方程的求解需要引入散射体不存在时的并矢格林函数,满足:

其中,δ(·)为狄拉克函数.于是,方程的解可写为如下积分形式:

其中,第1项为外部电流源对电场的贡献,也即入射场;第2项为散射体中的感应体电流源的散射贡献.通常考虑非磁性媒质,磁导率近似认为常数.因此,式(5)可化简成如下表达式:

法比为女人们拉开沉重的门。外面手电筒光亮照着一片刺刀的森林。少佐僵直地立正，脸孔在阴影中，但眼睛和白牙流露的喜出望外却从昏暗中跃出来。法比从来没想到他会拉开这扇门，把人直接送上末路。把一个叫赵玉墨的女子送上末路。

于是,方程式(6)可表示为以下形式:

上式为一阶波恩近似,空间各点电场可由式(8)计算得到.

而对于式(8)中的并矢格林函数的计算,由于格林函数中的积分项作用区域是整个非均匀介质体,因而其中既包括单元间的相互作用项,也包括各单元的自作用项.为避免奇点影响,各单元的自作用项需单独处理,其表达式[15]为

2　Rytov近似

另一种常用近似为里托夫近似,考虑当介质目标散射体的特征尺寸远大于波长时,也即高频散射情况下,极化电荷效应可忽略,此时,矢量波动方程退化成去耦合的标量波动方程.于是,非均匀介质体中的标量场波动方程可表示为

而标量场波动方程中总场的解的形式为指数形式,可表示为

将式(13)和式(14)代入式(12),可得

于是,背景介质中的入射场满足方程:

将式(16)和式(17)代入式(15),并结合φ0(r)=exp( jϕ0(r)),∇φ0(r)=jφ0(r)∇ϕ0(r)以及∇2φ0(r)=,可得如下方程:

Rytov近似可认为是针对散射场复相位的一种梯度约束条件,通常假设散射场的相位变化∇ϕ1非常小,即

应用量纲分析,令散射体尺寸的量级为L,则当频率趋向无穷时,kbL→∞,非均匀介质体内场的形式为ex p(i k·r),则有

于是在满足式(22)近似条件下,散射场的复相位可表示为

继而可得到总场的计算式为

3　数值结果

为验证引入波恩近似和里托夫近似计算目标散射的准确性,分别对电大尺寸均匀和非均匀弱介质的高频散射进行计算.首先计算均匀介质平板,如图2所示,介质平板尺寸为6λ×6λ×(1/10)λ,计算频率为10 GHz,相对介电常数为1.1,垂直极化入射.表1中给出了两种方法和高频结构仿真(High Frequency Structure Simulation,HFSS)软件计算用时和内存消耗.

图2　均匀介质平板模型

表1　两种方法和HFSS软件的内存和时间消耗比较(均匀介质平板)

如图3所示,均匀介质平板的计算结果与HFSS仿真结果相吻合,表明对于弱散射介质,当满足玻恩近似和里托夫近似条件时,可在简化目标散射场与总场以及入射场关系的同时,满足电磁计算的精度要求.同时注意到应用玻恩近似和里托夫近似后的计算结果非常接近,理论分析也表明,当散射场较弱时,两种近似趋近于同一近似.

图3　均匀介质平板单站RCS结果比较

下面对非均匀的弱散射介质平板进行计算,模型为6λ见方的非均匀介质平板,各分块尺寸如图4所示,计算频率为10 GHz,各介质块的相对介电常数分别为εr1=εr3=1.5,εr2=εr4=1.1,角度扫描面φ=0°,垂直极化入射.表2中给出了两种方法和HFSS软件的计算时间和内存消耗对比.

图4　非均匀介质平板模型

如图5所示,非均匀介质的结果依然保持了比较好的计算精度,尤其是在垂直平板入射方向能够和HFSS仿真结果较好地吻合,与图3结果相对比可看到,随着介电常数的增加,平板RCS整体增加将近10 d Bsm,表明散射随介电常数的增加有所增强.另外,由图3和图5的结果也可看出,对弱散射介质,Born近似和Rytov近似的计算结果也基本保持一致.

4　结束语

笔者研究了基于体积分方程的电大尺寸非均匀介质的电磁散射计算方法,通过引入Born近似和Rytov近似,弱化散射场的关系,对弱散射介质目标进行计算,从而避免传统方法中求解矩阵的繁琐步骤,数值结果也表明了该方法的有效性.文中统一通过将模型剖分为六面体网格单元进行计算,理论上同样适用于柱锥、球体等其他模型.例如,对球体模型,只需增加近似算法的阶数以满足计算精度要求,这也是采用体剖分计算的优势所在.然而,也应指出,文中所用方法仅针对满足近似条件的弱散射体,而对于强散射介质,则无法得到较为满意的计算结果.因此,如何针对强散射介质给予有效修正以满足电磁计算的精度要求,扩展算法的适用范围,将是下一步需要研究的非常有意义的课题.

图5　非均匀介质平板单站RCS结果比较

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(编辑:齐淑娟)

Volume integral method for calculation of weak scattering from electronically large dielectric targets

FAN Jun1,LEI Zhenya1,XIE Yongjun1,2,LI Xiaofeng1
(1.School of Electronic Engineering,Xidian Univ.,Xi’an 710071,China; 2.School of Electronic and Information Engineering,Beihang Univ.,Beijing 100083,China)

To calculate the high-frequency scattering fields from the weak scattering dielectric objects,starting with the vector and scalar wave equation separately,Born approximation and Rytov approximation are introduced to directly compute the radar cross section and extended to the high-frequency analysis of the electrical large weak scattering dielectric objects based on the volume integral equation.By weakening the mutual actions between the scattering field,the incident field and the total scattering field through this approximation,the complicated procedures for solving the matrix by the traditional method can be avoided,thus saving the computational resources and the time consumption.Numerical results show that the approach is accurate and effective.

inhomogeneous;dielectric target;radar cross section(RCS);Born approximation; Rytov approximatio

TN823

A

1001-2400(2016)03-0038-05

10.3969/j.issn.1001-2400.2016.03.007

2015-03-09

时间:2015-07-27

国家自然科学基金资助项目(60771040);教育部新世纪优秀人才基金资助项目(NCE950T-40-0)

樊 君(1982-),男,西安电子科技大学博士研究生,E-mail:hawk̠fj@126.com.

http://www.cnki.net/kcms/detail/61.1076.TN.20150727.1952.007.html