安徽省五河高中　刘瑞美

探求复合方程根的分布问题基本策略

安徽省五河高中刘瑞美

为了研究问题的方便，我们规定：形如f［g（x）］=0的方程，称为复合方程，并将方程f（x）=0称为简单方程，其中x是未知数。

近年来，有关复合方程的根的问题经常出现在高考试题中，大部分考生遇到这样的问题往往情绪紧张，不知“路”在何方；也有的考生尽管基础很好，但由于分类不清和运算不当，使得思路受阻，影响到后续问题的解答。实际上解决此类问题的基本策略是分类讨论、数形结合以及换元法等数学思想方法的正确应用，进一步把复合方程转化成简单方程或者把方程根的问题转化成函数图像交点（函数零点）问题等。下面结合试题具体说一说策略的具体实施过程。

一、分类讨论须谨慎

运用分类讨论思想解决与复合方程有关问题时，要时刻注意分类的标准，一定要做到不重复与不遗漏，这样才能得到正确的结果。

例1已知函数f（x）=m·2x+x2+nx，若集合{x|f（x）=0}={x|f［f（x）］=0}≠Ø，则m+n的取值范围为（）。

A.（0，4）B.［0，4）C.（0，5］D.［0，5］

解析令t=f（x），由{x|f（x）=0}={x|f［f（x）］=0}可得t=0时，f（t）=f（0）=m=0，因此f（x）=x2+nx，则{x|f（x）=0}={0，-n}，当f［f（x）］=0时，有f（x）=0或f（x）=-n，再由{x|f（x）=0}={x|f［f（x）］=0}≠Ø可知：f（x）=-n无解或f（x）=-n的解为0或-n，

（1）当f（x）=-n无解时，Δ=n2-4n＜0⇒0＜n＜4；

（2）当f（x）=-n的解为0或-n时，n=0；于是由（1）、（2）可知：0≤n＜4。

故m+n的取值范围是0≤n＜4，因而选B。

点评本题实际上考查的是与集合有关的问题。令集合A={x|f（x）=0}，B={x|f［f（x）］=0}，且满足A=B≠Ø，从而探求m+n的取值范围。

二、以形定数显神威

在解决有关复合方程问题时，分类讨论思想自然十分重要，但如果只考虑到分类，仅仅由数再到数，有时可能收效甚微，更有可能陷入无限循环的运算之中，运算量很大，最终导致思路受阻。……