胡华春

相似三角形在中考中占有十分重要的地位，现就中考中常见的与相似三角形有关的存在性问题和同学们一起来研究解题策略与方法.

问题1 （改编自苏州市2007年中考第29题）平面直角坐标系中，点A（-1，0）、B（4，0）、D（1，-3）和E（6，7），如图1.连接AE、BE、BD.在x轴上是否存在点P，使得以点P、B、D为顶点的三角形与△AEB相似？若存在，求出点P的坐标.

这是典型的不定三角形与定三角形的相似问题，因此，我们要尝试寻找△AEB与△PBD之间是否有确定的对应关系.

△AEB中，由三顶点坐标可求出三条边长，过点E做EF⊥x轴于点F，如图2，AB=5，AE=[72]，BE=[53]，同时可得∠EAB=45°.

△PBD中，不妨先假定一个点P，如图2.当点P在x轴上点B的左侧时，可以发现边BD 和∠PBD是不变的，其他的边和角都随点P的位置的改变而改变.此时，动中取静，先计算BD和∠PBD，以静制动.过点D作DG⊥x轴于点G，可得BD=[32]，∠PBD=45°.

从而∠EAB=∠PBD=45°，△PBD中的定角∠PBD为45°，与△AEB中的∠EAB成为对应角.

根据相似三角形的判定方法，已知一对对应角相等时，再寻找另一对对应角相等或者寻找夹这组对应角的两边对应成比例即可.要解决点P的坐标，即要解决与点P有关的线段的长.因此，选择夹∠EAB和∠PBD的两组边对应成比例来使这两个三角形相似.但是线段BP的长度是可以改变的，也就是夹这两个角的两组边对应关系不确定，需要分两种情况：

[PBBD]=[ABAE]或[PBBD]=[AEAB].

代入相关数据，可得PB=[157]或[425]，从而点P[137，0]或[-225，0].

当点P位于点B的左侧时，∠PBD=135°，显然△PBD中不可能有45°角，从而与△AEB不可能相似.

问题2 （改编自苏州市2012年中考第29题）如图3，平面直角坐标系中，A（1，0），B（b，0），C[0，b4]，b>2 ，请你探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可作相似的特殊情况）？……