谢燕

中考是对同学们三年初中学习的大检阅，一道道中考题既是同学们要攀登和战胜的一座座山峰，也是我们学习的一座座宝藏，让我们一起通过中考题来探寻学习和解题的奥秘吧！

例1 （2016·江苏南京）如图1，AB、CD相交于点O，OC=2，OD=3，AC∥BD.EF是△ODB的中位线，且EF=2，则AC的长为 .

【解析】因为EF是△ODB的中位线，EF=2，

所以DB=4，又AC∥BD，

所以[ACDB]=[OCOD]=[23]，

所以AC=[83].

本题是三角形的中位线和三角形相似的小综合题，只要牢固掌握基本图形、基本知识就可迎刃而解.运用相似求线段长度是中考中常见的题型.

例2 （2016·江苏无锡）如图2，△AOB中，∠O=90°，AO=8cm，BO=6cm，点C从A点出发，在边AO上以2cm/s的速度向O点运动，与此同时，点D从点B出发，在边BO上以1.5cm/s的速度向O点运动，过OC的中点E作CD的垂线EF，则当点C运动了 s时，以C点为圆心，1.5cm为半径的圆与直线EF相切.

【解析】当以点C为圆心，1.5cm为半径的圆与直线EF相切时，CF=1.5，

∵AC=2t，BD=[32]t，

∴OC=8-2t，

OD=6-[32]t，

∵点E是OC的中点，

∴CE=[12]OC=4-t，

一种方法是通过证明△EFC∽△DOC，得到[EFOD]=[CFOC].

∴EF=[3OD2OC]=[36-32t2（8-2t）]=[98].

由勾股定理可知CE2=CF2+EF2，

∴（4-t）2=[32]2+[98]2，

解得t=[178]或t=[478]，

∵0≤t≤4，∴t=[178].

也可以通过证明△EFC∽△BOA，得到[CFCE]=[AOAB]，即[1.54-t]=[810]，解得t=[178].

本题综合考查了相似三角形判定、性质和切线的性质，是动态问题，先要通过设未知数t，用t表示线段长度，然后利用勾股定理或相似三角形对应边成比例建立关于t的方程，从而得解.

例3 （2016·江苏苏州）如图3，AB是⊙O的直径，D、E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD=BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE、DE、DF.

（1）证明：∠E=∠C；

（2）设DE交AB于点G，若DF=4，cosB=[23]，E是[AB]的中点，求EG·ED的值.

【解析】（1）证明：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，

∵CD=BD，∴AD垂直平分BC.

∴AB=AC，∴∠B=∠C.

又∵∠B=∠E，∴∠E=∠C.

（方法不唯一，也可连接BF进行证明）

（2）连接OE.

∵∠CFD=∠E=∠C，

∴FD=CD=BD=4.

在Rt△ABD中，cosB=[23]，BD=4，

∴AB=6.

∵E是[AB]的中点，AB是⊙O的直径，

∴∠AOE=90°.

∵AO=OE=3，∴AE=[32].

∵E是[AB]的中点，∴∠ADE=∠EAB，

∴△AEG∽△DEA，∴[AEEG]=[DEAE].

即EG·ED=AE2=18.

本题是圆和相似的综合题，关键考查圆中弧、弦、角的转化，由于相似是求乘积比较常用的方法，所以在圆中寻找或构造与EG、ED相关的相似三角形是求解本题的关键.

通过对中考题研究可以发现，相似的主要作用是求比值、求乘积、求线段长以及求与线段长相关的量（比如时间）等.每一道中考题都是学习的宝藏，先探究，再回顾，将解题经验内化为解题技能，相信努力的你会越来越优秀.

（作者单位：江苏省常熟市第一中学）