党华，仇异，郭军强，王卫江

(北京理工大学 信息与电子学院，北京 100081)



基于相空间重构和核主分量的水声信号增强

党华，仇异，郭军强，王卫江

(北京理工大学 信息与电子学院，北京 100081)

多径衰落是水声信道的主要特征，利用多径衰落信道具有的混沌行为，提出一种新的抗多径干扰的方法.建立基于混沌相空间的水声信道模型，利用核技巧φ(x)·φ(y)=k(x，y)，通过核主分量分析提取相空间数据中累积贡献率达到90%的非线性核主分量，然后利用核主分量逆向投影回原相空间，通过去掉噪声干扰等次分量，提高水声衰落信号的信噪比.基于实测水声数据的仿真实验结果表明，该方法能将chirp水声信号信噪比提高7.76 dB，达到对多径衰落水声信号增强的目的.

多径衰落；混沌相空间重构；核主分量分析；水声

水声通信由于信道的多径效应、时变效应、可用频宽窄、信号衰减严重等因素为水下通信带来了障碍，其中水声信道的多径效应使信号产生严重衰落，影响水声信号的检测，成为限制水声通信系统性能的主要因素.目前通信系统中抗多径干扰的主要技术有:扩频技术，均衡技术、分集技术等，其中扩频技术对信噪比的提高约7 dB[1]，均衡和分集技术则要求水声信号信噪比大于0 dB时误码率才有所提高[2]，两者对增强水声弱信号信噪比都有限制，多径衰落是水声通信要解决的一项关键技术.

Tannous等[3]发现多径衰落信道存在奇怪吸引子，即多径衰落具有混沌行为，表现为：虽然多径衰落信道是一种无序和复杂的系统，但可以通过重建系统的相空间获得混沌吸引子，从而挖掘出更强的数据相关性，得到更多的系统信息，产生出有序规律的模型.因此对具有明显多径衰落效应的水声信道，提出基于相空间重构的衰落信道模型建立，可以在很大程度上恢复原有水声信道的几何和物理性质，重建的相空间拥有比标量时间序列更多的系统信息，恢复出有序规律的原始信号.

典型的水声信号多径衰落信道模型[4]为

式中：k为路径索引；Ak为幅度；fk为多普勒频率；φ0为初始相位；tk为延时时间；n(t)为加性高斯白噪声.

利用时间延迟理论，构建水声信道的混沌相空间模型为

X(t)相空间模型的构建需要确定延迟时间τ和嵌入维数m.然后对包含有延时信息的水声信道模型X(t)进行特征提取，因水声信号为非平稳信号，线性空间的主分量分析(PCA)已不再适用，利用核技巧，将非线性空间通过函数φ映射到高维线性特征空间F，在F中进行主分量分析，即核主分量分析(KPCA)，提取非线性信号的主要特征，确定核主分量，噪声信号则体现为次分量，最后应用投影逆过程，去掉次分量，逆向投影回原相空间X(t)，并进一步通过优化样本重构误差，实现水声信号增强重构，达到增强信噪比的效果.

提出的基于相空间重构和核主分量分析的水声信号增强的方法，适用于需要对具有多径衰落信号恢复原始有序规律信号的信道环境，整个算法过程如图1所示.实测水声数据的仿真实验结果表明，提高水声信号信噪比达到7.76dB，该方法具有抗多径干扰和增强水声信号的效果.

1 相空间重构

相空间重构将一维时间序列重构为包含丰富系统信息的高维空间序列.Takens定理[5]证明:通过系统一个状态变量的时间序列观测值可以重构一个与原系统拓扑等价的空间.该定理保证了可以从一维混沌时间序列中重构一个与原系统在拓扑意义下等价的相空间，混沌时间序列的判定、分析与预测是在该重构的相空间中进行的，因此相空间的重构是混沌时间序列研究的关键.水声信号的多径衰落效应具有混沌行为，利用该理论对单变量多径水声信号进行坐标延迟相空间重构以得到等价的多维相空间信号模型.

坐标延迟相空间重构技术有两个关键参数，对时间延迟τ的确定和嵌入维数m的选择.在Takens定理中对于理想的无限长和无噪声的一维时间序列，时间延迟τ和嵌入维m可以取任意值，但实际应用的时间序列都是含有噪声的有限长的序列，嵌入维数和时间延迟是不能任意取值，否则会严重影响重构的相空间的质量.

1.1 时间延迟τ的确定

如果时间延迟太小，则相空间矢量Xj=[x(i)x(i+τ) …x(i+(m-1)τ)]中任意两个分量x(i+jτ)和x(i+(j+1)τ)在数值上非常接近，以至于无法相互区分，从而无法提供两个独立的坐标分量.如果时间延迟τ太大，则两坐标在统计意义上又完全独立，混沌系统的轨迹在两个方向上的投影不相关.因此采用适合于判断非线性系统的互信息法[6]来确定最优的延时.实际离散信号x(i)(i=1，2，…，n)，利用互信息法求得交互信息为I(s)，用等间距划分空间格子的方法计算I(s)，即

(1)

式中：Nl，Nd为交互信息二维相平面两个方向的网格数目；Pj为假设点出现在第j段的概率；Pj，k为j段中x(i)与k段中x(i+s)相连的概率.

I(s)表示在已知系统x(i)的情况下，另一系统x(i+s)的确定性的大小.I(s)=0，表示x(i+s)完全不可预测，即x(i)和x(i+s)完全不相关；而I(s)的极小值，则表示了x(i)和x(i+s)是最大可能的不相关，重构时使用I(s)的第一个极小值对应的s作为最优延迟时间τ.

1.2 嵌入维数m的选择

嵌入维数选择的方法很多，几何不变量法，虚假最近邻点法，伪最近邻点的改进方法(Cao方法)[7]，考虑到信号中噪声问题，选择Cao方法，能有效消除对信号中噪声的敏感，并且该方法具有计算时只需要延迟时间τ一个参数的优点.

令

定义

(2)

(3)

E(m)表示在嵌入维数为m的情况下时间序列上各点及其临近点之间距离的统计平均，E(m)完全由m和τ决定，当τ确定后，则它是一个关于m的变量.对于无限长序列随着m的增大，E1(m)将在m大于某一特定值后将趋于稳定，但对实际应用中有限长序列E1(m)不容易判断是在缓慢变化还是已经稳定，因此补充一个判断准则：

(4)

(5)

综合E1(m)和E2(m)趋于稳定的现象，判断此时的m即为最佳嵌入维数.

通过选定的延迟时间τ和嵌入维数m便可构建相空间为

(6)

对于构建的m×N相空间信号模型

XM=[X(1) X(2) …X(N)],

(N=n-(m-1)τ).

它包含了真实数据以及噪声干扰项，利用核主分量分析，能有效提取非线性信号的主要成分，抑制次分量，从而分离出原始信号.

2 核主分量分析

ScholkopfB等[8]提出了利用核技巧的非线性的PCA算法KPCA.KPCA基本思想为通过一个非线性变换，将非线性元素转化成高维特征空间中的线性元素，再对变换后的线性元素做主分量分析.通过核技巧，KPCA只需在原空间X中进行点积运算，而不必知道非线性映射的具体形式.因此KPCA在提取非线性信号的主要特征方面具有良好的性能，对含有大量噪声的信号，还具有明显的去噪效果，KPCA算法流程如图2所示.

设原始数据空间X通过非线性映射函数φ映射到高维特征空间F，则F中的数据表示为φ(xi)，i=1，2，…，N，核技巧就是利用高维特征空间中数据点积可以通过核函数来计算：

F特征空间中的数据相关矩阵为

(7)

(8)

式中：ξ为特征值；v为特征向量.

由再生核空间理论，特征空间F中，特征向量v由φ(xi)，i=1，2，…，N张成，因此，存在系数ai满足

(9)

将式(7)和式(9)代入式(8)，并在等式(8)两边同时乘以φ(xk)做点积，可得

(10)

定义矩阵K，Kij=(φ(xi)·φ(xj)).

将式(10)化简得到

(11)

根据信息论累积原理，将特征值按从大到小的顺序排列，对于主成分的提取，综合考虑计算量的大小和提取出的信噪比高低，选取合适的累积贡献率90%.因此取特征值之和累积贡献率大于90%的前q个特征值以及对应的特征向量，即

Vq=[v1v2… vq]，

作为投影方向，将信号相空间投影以确定其核主分量

(12)

由核主分量可以得到φ(x)在特征空间F中的近似重构：

(13)

(14)

(15)

常用的核函数有多项式核函数、高斯径向基核函数和两层前馈神经网络核函数.因为径向基函数可以降低噪声对识别的影响，具有更好的非线性性能，故采用高斯径向基函数作为核函数，其表达式如下：

(16)

(17)

KPCA实质是引入非线性映射，将原始空间中的非线性问题转化成映射空间中的线性问题，在映射的高维特征空间中进行主分量分析，将次分量(多种干扰混合)去掉，提取映射后信号的主分量，经过重构后达到很好的去噪效果，增强信号的识别性.

混沌相空间包含衰落信道的系统信息，将KPCA去噪效果应用于混沌空间上，测试其去噪效果.原始信号为经典洛伦茨(Lorenz)混沌吸引子，σ的选择经过人工训练，选择13.6时信号增强效果最好，见图3(a)、3(b)为加入-10 dB加噪Lorenz信号，3(c)则为经过KPCA提取主分量，进行去噪后在输入特征空间重构的原始信号.

从图中可以看出，吸引子加入噪声后，吸引子变得杂乱无章，出现混沌现象.经过KPCA重构原始信号后得到吸引子信号，恢复的信号轮廓几乎接近于原始吸引子信号的形状，可以很好地识别出加入-5 dB噪声后完全混乱的混沌Lorenz吸引子，由此可以说明KPCA的方法具有很好的信号降噪增强的效果.

3 数据仿真

3.1 实验数据

线性调频(chirp)信号作为一种成熟的非平稳信号被广泛应用于水声领域，它具有较大时宽带宽积，常被选取用于水声通信的同步码，因此选取水声同步信号作为仿真原始信号s(t)，带宽10 kHz，频率范围为30～40 kHz，采样时间长度为10 ms，采样速率为204.8 kHz.模型采用上述水声多径快速衰落信道模型，仿真参数fk采用最大多普勒频移20 Hz，φ0取45°，n(t)为-3.5 dB加性高斯白噪声，水声信道采用文献[10]所给出的典型水声多径参数，如表1所示.

表1 水声信道模型参数

3.2 实验结果与分析

对于信号x(t)的检测，由于水声通道受到多径效应、时变效应的影响，导致信号的识别变得困难.利用多径衰落信道具有混沌行为，采用本文的方法对其分析.先重构信号的相空间，利用互信息法计算仿真信号的交互信息I(s)，如图4所示I(s)的第一个极小值对应的s即为延迟时间τ，因此最优延迟时间为2.嵌入维数m由Cao方法确定，如图5所示，综合判断E1(m)和E2(m)的值趋于稳定的现象，选取最佳嵌入维数m值为10.

根据最佳时间延迟量τ=2和最佳嵌入维数m=10下构建仿真信号的相空间，选择高斯径向基函数作为核函数，人工训练选择最优核参数.对相空间中的数据进行核主分量分析，提取信号的非线性特征.通过在输入特征空间中的重构实现滤波去噪和信号增强的效果.同时为对比，对仿真信号直接进行KPCA处理，得到仅通过核主分量分析重构的信号，原始信号和两种方法重构信号的频域对比图如图6所示.

从实验仿真结果可以看出原始信号能量分散，在30～40 kHz频域区间水声chirp信号信噪比低，通过本文方法重构恢复出的信号能量集中，信噪比明显提高，可准确检测出受多径效应和传输噪声严重影响的水声同步信号.

计算此时信号的信噪比，频域信噪比定义为

(18)

经计算，信噪比达到4.26dB，比原始信号信噪比提高7.76dB，而仅通过核主分量分析方法重构的信号由于缺少相空间系统信息，主要是延时信息，信号能量的集中度低于上述方法，信噪比为1.32dB，提高4.82dB，比本文方法少了2.94dB.基于多径衰落信道存在奇怪吸引子的理论构建的水声衰落信道模型，可以获得原水声信道的更多延时信息，适用于多径效应明显的水声信号分析.同时采用的核技巧，能提取主要信号的非线性特征，集中信号能量来增强信号，提高信号的信噪比.

4 结 论

水声通信在传输过程中存在严重的多径效应以及噪声干扰，信号衰落严重，导致通信可靠性低.提出一种基于相空间重构和核主分量分析的水声信号增强的方法.通过对水声同步chirp信号构建τ=2和m=10的相空间仿真实验，信噪比提高达到7.76dB，达到了抗多径干扰的效果，验证了该方法对水声同步信号的非线性特征提取效果明显，提高了水声通信的可靠性.

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XiangZheng，ZhangTaiyi，SunJiancheng.Thepredictionalgorithmofthefastfadingchannelbasedonthechaoticattractor[J].JournalofXidianUniversity，2006，33(1)：145-150.(inChinese)

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Wei Li，Xu Fang，Sun Haixin.Research and simulation of underwater acoustic channel[J].Acoustics，2008，27(1):25-29.(in Chinese)

(责任编辑：刘芳)

Underwater Acoustic Signal Enhancement Based on Phase Space Reconstruction and KPCA

DANG Hua，QIU Yi，GUO Jun-qiang，WANG Wei-jiang

(School of Information and Electronics，Beijing Institute of Technology，Beijing 100081，China)

Multipath fading is the main feature of underwater acoustic channel.Considering the chaotic behavior of multipath fading channel, a new method was proposed to resist the multipath interference.Firstly, an underwater acoustic channel model was established based on chaotic phase space.On the basis of this model，through kernel principal component analysis (KPCA) with nuclear techniquesφ(x)·φ(y)=k(x，y)，nonlinear kernel principal component could be extracted from the spatial data, which cumulative contribution rate could achieve 90%.And then, the kernel principal component was used to reverse project the spatial data back to the original phase space, and the noise component was removed to improve the noise ratio of acoustic signal.The simulation results and the measured acoustic data show that this method can improve the noise ratio of acoustic signal to 7.76 dB, and can achieve the goal of enhancement of multipath fading underwater acoustic signal.

multipath fading;chaotic phase space reconstruction;KPCA;underwater acoustic

2013-11-29

党华(1977—)，男，博士，E-mail:danghua@bit.edu.cn.

TN 929.3

A

1001-0645(2016)03-0271-06

10.15918/j.tbit1001-0645.2016.03.010