周冬波

摘要：笔者通过一道习题展开多种运算引发思考，提出了提高学生实际运算能力的方法。

关键词：数学;运算能力;提高

中图分类号：G633.6文献标识码：A     文章编号：1992-7711（2016）04-081-1

一、问题的提出

在学习了椭圆的离心率后，布置学生做了这样一道习题：已知椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0），其右焦点F关于直线y=bcx的对称点仍然落在椭圆上，求椭圆的离心率。

二、问题的探究

探究1：思路的确定

不少同学能立即提供本题的思路：先算出右焦点F关于直线y=bcx的对称点的坐标;其次将所得对称点的坐标代入椭圆方程，整理得到a，b，c的齐次等式，最后得到e的方程，解之得到解。

探究2：具体运算

8分钟后，只有个别同学算出结果。很多同学一筹莫展，无法将运算进行下去。我决定让学生分步交流运算历程：

第一步求对称点的坐标

运算一（1）：设过右焦点F且与直线y=bcx垂直的直线为y=-cb（x-c），将y=bcx，y=-cb（x-c）联立得交点坐标为（c3a2，bc2a2），由中点坐标公式得对称点坐标为（2c3-ca2a2，2bc2a2）。

运算一（2）：设对称点坐标为（x，y），根据对称性得yx-c·bc=-1

y2=bc·x+c2，解方程组得（2c3-ca2a2，2bc2a2）。

两种思路的比较：思路一将点关于直线的对称点转化为点关于点的对称点，通过解一组二元一次方程组得以实现，解法自然简捷;思路二是解析几何的基本方法待定系数法的具体表现，同样通过解一组二元一次方程组得以实现，解法也不错，体现了大多数学生的运算基本功。

第二步将所得对称点的坐标代入椭圆方程，整理得到a，b，c的齐次等式。

第三步解e的方程

运算：由4c6+c2a4=a6两边同除a6得4e6+e2=1，将e2=t得4t3+t=1，通过观察得t=12为4t3+t=1的一个根，从而4t3+t-1=（t-12）（4t2+4t+5）=0，进一步得4t3+t=1的根为12，从而e=22。