韩宏帅

数列中的综合问题，大多与函数交汇，考查利用函数与方程的思想及分类讨论思想解决数列中的问题，有时用不等式的方法研究数列的性质.

求解这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确转化.对于函数的有关性质，主要利用函数的单调性或有界性来求解数列中的最值.但由于数列的通项是一类特殊的函数，所以借助函数的性质研究数列问题，一定要注意数列中的自变量只能取正整数这一特点.

例1（2015年高考安徽，理18）设n∈N*，xn是曲线y=x2n+2+1在点（1，2）处的切线与x轴交点的横坐标.

（1）求数列{xn}的通项公式；

（2）记Tn=x21x23…x22n-1，证明Tn≥14n.

分析：（1）对题中所给曲线的解析式进行求导，得出曲线y=x2n+2+1在点（1，2）处的切线斜率为2n+2.从而可以写出切线方程为y-2=（2n+2）（x-1）.令y=0.解得切线与x轴交点的横坐标xn=1-1n+1=nn+1.

（2）要证Tn≥14n，需考虑通项x22n-1，通过适当放缩能够使得每项相消即可证明.思路如下：先表示出Tn=x21x23…x22n-1=（12）2（34）2…（2n-12n）2，求出初始条件当n=1时，T1=14.当n≥2时，单独考虑x22n-1，并放缩得x22n-1=（2n-12n）2=（2n-1）2（2n）2>（2n-1）2-1（2n）2=4n2-4n（2n）2=n-1n，所以

Tn=（12）2×12×23×…×n-1n=14n，综上可得对任意的n∈N*，均有Tn≥14n.

解：（1）解：y′=（x2n+2+1）′=（2n+2）x2n+1，曲线y=x2n+2+1在点（1，2）处的切线斜率为2n+2.

从而切线方程为y-2=（2n+2）（x-1）.令y=0，解得切线与x轴交点的横坐标xn=1-1n+1=nn+1.

（2）证：由题设和（1）中的计算结果知Tn=x21x23…x22n-1=（12）2（34）2…（2n-12n）2.

当n=1时，T1=14.

当n≥2时，因为x22n-1=（2n-12n）2=（2n-1）2（2n）2>（2n-1）2-1（2n）2=4n2-4n（2n）2=n-1n，

所以Tn>（12）2×12×23×…×n-1n=14n.

综上可得对任意的n∈N*，均有Tn≥14n.

评注：数列是特殊的函数，不等式是深刻认识函数与数列的重要工具，三者的综合是近几年高考命题的新热点，且数列的重心已经偏移到不等式的证明与求解中，而不再是以前的递推求通项.对于数列问题中求和类（或求积类）不等式证明，如果是通过放缩的方法进行证明的，一般有两种类型：一种是能够直接求和（或求积），再放缩；……