邵水布， 张二川， 孙华飞

(北京理工大学 数学与统计学院， 北京 100081)



正定Hermite矩阵流形上代数Lyapunov方程的信息几何算法

邵水布， 张二川， 孙华飞

(北京理工大学 数学与统计学院， 北京 100081)

对于正定Hermite矩阵流形上的代数Lyapunov方程AHX+XA+P=0， 基于流形的黎曼几何结构， 作者以矩阵-AHX-XA和P之间的测地距离为目标函数， 提出了代数Lyapunov方程数值解的信息几何算法. 最后，给出了正定Hermite矩阵流形上的代数Lyapunov方程的数值模拟结果．

代数Lyapunov方程; 信息几何算法; 正定Hermite矩阵; 测地距离

许多工程和数学问题， 如信号处理、机器人控制、计算机图像处理[1]等， 最终都可以简化为求解如下代数Lyapunov方程的数值解，

(1)

式中：P为正定Hermite矩阵；AH为矩阵A的共轭转置.

(2)

本文中，考虑正定Hermite矩阵流形上的代数Lyapunov方程的数值解. 方程(1)的解被描述为矩阵-AHX-XA尽可能接近正定Hermite矩阵P，并且它们之间的距离函数采用正定Hermite矩阵流形上的测地距离， 以此为目标函数提出信息几何算法. 最后， 数值模拟结果说明了提出的几何算法的有效性．

1 正定Hermite矩阵流形的几何结构

若n×n的复矩阵A满足AH=A且对任意的非0复矩阵X满足XHAX>0，则称A为正定Hermite矩阵. 所有n×n的正定Hermite矩阵全体构成一个正定Hermite矩阵流形H(n)，用Ekl表示第k行第l列为1，其余元素为0的基本矩阵，则流形H(n)的基底矩阵可以表示为

(3)

式中：i2=-1；p为由数对(k，l)按照某种赋值规则得到的，则任意的正定Hermite矩阵Q∈H(n)可以表示为

(4)

定义1[5]若g表示正定Hermite矩阵流形H(n)上的黎曼度量，对于Q∈H(n)，切空间TQH(n)上的内积定义为

(5)

式中M，N∈TQH(n).

易证， 上述定义的度量满足黎曼度量的基本性质并且……