段晓敏， 赵新玉， 孙华飞

(1.大连交通大学 材料科学与工程学院，辽宁，大连 116028;2.大连交通大学 理学院，辽宁，大连 116028;3.北京理工大学 数学学院，北京 100081)



Stein方程数值解的黎曼梯度算法

段晓敏1，2， 赵新玉1， 孙华飞3

(1.大连交通大学 材料科学与工程学院，辽宁，大连 116028;2.大连交通大学 理学院，辽宁，大连 116028;3.北京理工大学 数学学院，北京 100081)

基于正定矩阵流形的信息几何结构， 使用黎曼梯度算法来获得Stein方程的数值解. 利用弯曲的黎曼流形上的测地距离作为算法的目标函数，并将流形上的测地线作为算法的收敛路径. 通过数值实验讨论了算法的步长和收敛速度的关系，从而得到算法的最优步长.

Stein方程;黎曼梯度算法;数值模拟

考虑Stein矩阵方程

(1)

式中：A为任意的n×n实矩阵；Q为给定的n×n正定矩阵；X为待求的未知矩阵. 它在许多领域中起着重要的作用，如系统与控制理论、动态规划等科学与工程计算领域[1-3]. 在过去几十年里，人们对这个方程的求解问题进行了各种研究，例如，Bartels-Stewart方法，Hessenberg-Schur方法，Schur方法和QR分解法[1]. 根据偏序集上的Kronecker内积和固定点原理，文献[4]讨论了方程存在唯一正定矩阵解的充分条件，即，如果I-ATA是一个正定矩阵， 那么方程(1)存在唯一的解， 并且这个解是对称正定的矩阵， 其中I为n阶单位矩阵.

信息几何是在黎曼流形上采用现代微分几何方法来研究统计学和信息领域问题而提出的一套新的理论体系，已经逐步应用于神经网络、信号处理、系统与控制等领域[5]. 而将信息几何理论应用到研……