关于不等式问题的方法与技巧

2016-11-16宋玉连周景芝

课程教育研究·中 2016年8期

关键词：不等式

宋玉连+++周景芝

【摘要】不等式是解决大学数学问题不可缺少的工具之一，但同时也是一个学习的难点。介绍了利用中值定理、函数单调性、函数的凹凸性等技巧来证明有关不等式的方法，并通过例子，具体说明各方法之间的区别。

【关键词】不等式中值定理函数性质

【中图分类号】O171 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）08-0129-01

一、利用中值定理证明不等式

1.利用Lagrange 中值定理证明不等式

在大学数学中，我们经常用来解决不等式有关问题的方法与技巧之一就是利用Lagrange 中值定理。通过 Lagrange 中值定理来处理和解决不等关系式的相关问题的基本步骤：

（1）分析题目，依据题目所给内容来寻找不等式，并另设一个恰当的辅助函数f（x）和区间[a，b]，来帮助我们对题目所给不等式进行变换；

（2）当函数f（x）在区间[a，b]已能够运用 Lagrange 中值定理的情况下，计算出Lagrange中值定理f'（？孜）= 或f（b）-f（a）=f'（？孜）（b-a）（a<？孜

（3）在满足由（a<？孜

例1 当x>1时，证明：

证明：选取函数f（t）=ln t，则对于？坌x>1，函数f（t）=ln t在区间[x，x+1]上的时候符合 Lagrange 中值定理的使用条件，所以有ln（x+1）-ln x= [（x+1）-x]，

2.利用 Cauchy 中值定理证明不等式

当我们需要研究两个函数变量关系的时候，我们可以考虑通过Cauchy中值定理来进行比较分析。Cauchy中值定理与Lagrange中值定理在一定条件下是可以互相推导出的，当一个函数f（x）视为自变量本身的时候，整个公式便可以转化为Lagrange中值定理，当题目中的不等式能够使用Lagrange中值定理证明的时候，我们必然能用Cauchy中值定理来证，反之亦然。

二、利用函数的各种性质证明不等式

1.利用函数的单调性证明不等式

在大学数学中，经常会遇到需要对函数值的大小进行比较，我们会常常利用函数的单调性的有关知识来证明不等式的有关问题。在证明不等式的时候，实质上便是通过对不等式两端数值进行比较来确定大小。

例3 已知e （b-a）。

证明：作辅助函数p（x）=ln2x- x，显然，p'（x）= - ，p″（x）= ，

当x>e时，p″（x）<0，故p'（x）单调减少；从而当ep'（e2）=0。

则p（x）在区间（e，e2）内单调增加，则有当e

即ln2b- b>ln2a- a，故ln2b-ln2a> （b-a）。

2.利用函数的凹凸性证明不等式

如果在所要证明的结论中包括形如f（x）的项，那我们常常可以考虑寻找适合的函数，利用函数的凹凸性来证明不等式。

例4 已知x>0，y>0且x≠y，求证x lnx+ylny>（x+y）ln 。

证明：构造函数F（x）=x ln x，（x>0），则有F'（x）=1+ln x，F″（x）= >0，因此可以知道当x>0的时候，函数F（x）的图像是凸的，所以通过分析函数的凹凸性可以得到，当x>0，y>0且x≠y时，有x lnx+y lny>（x+y）ln（x+y）2恒成立。