王　涛，蔡　敏，林　杉，李　洋，吴黎军

(1 新疆大学 数学与系统科学学院， 乌鲁木齐　830046；2.西安财经学院 统计学院，西安　730000)



基于卡尔曼算法的回归信度模型研究

王涛1，蔡敏1，林杉2，李洋1，吴黎军1

(1 新疆大学 数学与系统科学学院， 乌鲁木齐830046；2.西安财经学院 统计学院，西安730000)

主要研究在卡尔曼算法下的回归信度模型的信度估计问题，即将卡尔曼算法运用到回归信度模型中，得出了回归信度模型推导的另一种方法。由结果可知：用卡尔曼算法推导出的递推公式与用贝叶斯方法推出的结果一致，但用卡尔曼算法更直接、更简单，从而推广了经典的信度理论。

卡尔曼算法；回归信度模型；信度理论

在非寿险精算学中，信度理论一直是最重要的保费定价方式之一，其基本原理是精算师根据投保人过去的索赔经历来预测投保人未来的风险保费。信度理论最早为Mowbray[1]和Whithey[2]所研究，且提出了最基本的保费公式：

(1)

卡尔曼滤波(Kalman filtering)是一种利用线性系统状态方程，通过输入输出观测数据对系统状态进行最优估计的算法[6-8]。由于观测数据中包括系统中的噪声和干扰的影响，所以最优估计也可看作滤波过程。数据滤波是去除噪声还原真实数据的一种数据处理技术。Kalman滤波在测量方差已知的情况下，能从一系列存在测量噪声的数据中估计动态系统的状态。由于其便于计算机编程实现,并能对现场采集的数据进行实时的更新和处理,成为目前应用最为广泛的滤波方法,在通信、导航、制导与控制等多领域得到较好的应用[9]。

R.K.Mehra[10]在1975年第一次将卡尔曼算法和信度保费联系起来，从而得出了一种新的计算信度保费的方法。随后，吉林大学的李一英[8]在其硕士论文中将卡尔曼算法推广到了Buhlmann-Straub信度模型，并得出了一系列重要的保费公式。本文进一步将卡尔曼算法运用到回归信度模型中，推导出回归信度模型的卡尔曼保费计算公式，即得出了最大精度信度模型推导的另一种方法。由结果可知：用卡尔曼算法推导出来的递推公式与贝叶斯方法推出的结果一致，但卡尔曼算法能直接用结构化的公式推出信度模型的递推式，从而推广了经典的信度理论[11]。

1　回归信度模型

1.1基本理论

在介绍回归信度模型之前，先引入一个基本的定理。

1.2回归信度模型

1)θ是一个不可观测的随机变量，且θ∈Θ。

2　卡尔曼滤波模型

2.1模型简介

卡尔曼滤波最早由Kalman[13]于1960年提出，并于1961年与Bucy合作，将这一滤波方法推广到连续时间系统中去，从而形成Kalman滤波估计理论。卡尔曼滤波是一种蕴含着递归思想的数学方法，它能从一组包含白噪声且并不完全的观测向量中估计出整个系统的状态。

卡尔曼滤波包含2个导式：

(2)

为了表示方便，将式(2)写成另一种形式：

(3)

其中：t为离散的时间点；Y(t)是系统在时刻t的观测向量；X(t)是一个已知的矩阵，描述了Y(t)与系统的相关性；μ(t)和ν(t)是2个均值为0的误差向量，即白噪声；H(t)是一个已知的状态转移矩阵，表示系统在t时刻的状态到t-1时刻的状态之间的转移。对于任意的时刻t、s(t≠s)，随机向量μ(t),μ(s),v(t),v(s)是相互独立的。

2.2模型推导

卡尔曼滤波模型的推导方法主要运用正交投影理论，在推导之前，本文先给出几个正交投影结论[14]：

因为

由正交投影结论3)可知：

可得

反复运用正交投影理论，同时设定

最终可得[15]：

(4)

3　卡尔曼算法在回归信度模型中的应用

本文已给出了卡尔曼模型的基本公式，即：

进一步可得信度公式为：

4　结束语

卡尔曼算法是一种基于递归思想的计算方法。本文在前人研究基础上，创新性地将卡尔曼滤波模型运用到回归信度模型中，得出了基于卡尔曼滤波的回归模型信度公式。可以发现：由卡尔曼滤波推导出的公式与传统的回归模型信度公式完全等价，且由卡尔曼滤波可以直接用结构化的公式进行推导，简单、迅速，效率较高。

[1]MOWBRAY A H.How extensive a payroll is necessary to give a dependable pure premium [J].Proceedings of the Casualty Actuarial Society,1914(1):24-30.

[2]WHITNEY A.The theory of experience rating [J].Proceedings of the Casualty Actuarial Society,1918(4):274-292.

[3]BAGNOLI M,BERGSTROM T.Log-concave probability and its applications [J].Economic Theory,2005,26:445-469.

[4]THOMAS M,COVE J A.信息论基础[M].北京:机械工业出版社,2008.

[5]HACHEMEISTER C A.Credibility for regression models with application to trend[C]//Credibility,theory and applications,Proceedings of the berkeley Actuarial Research Conference on Credibility.USA:[s.n.],1975:129-163.

[6]商高高，朱晨阳． 基于双重卡尔曼滤波器电池荷电状态的估计[J]． 重庆理工大学学报(自然科学)，2014(6):1-7．

[7]李红莲,吴建伟.基于卡尔曼滤波的激光光谱CO2监测算法研究[J].激光杂志，2013(1)：41-42.

[8]靳宗信,樊红娟.一种基于CHEBYSHEV正交多项式的卡尔曼滤波器[J].西南大学学报(自然科学版),2015(8):133-138.

[9]ZEHNWIRTH B.A generalization of the Kalman filter for models with state-dependent observation variance[J].Journal of the American Statistical Association,1988,83(401):164-167.

[10]MEHRA R K.Credibility theory and Kalman filtering with extensions[C]//Decision and Control including the 15th Symposium on Adaptive Processes,1976 IEEE Conference.[S.l.]:IEEE,1976:183-185.

[11]李一英.Kalman算法在一类Bühlmann-Straub推广模型中的应用研究[D].长春:吉林大学,2014.

[12]NORBERG R.The credibility approach to experience rating[J].Scandinavian Actuarial Journal,1979,1979(4):181-221.

[13]KALMAN R E.A new approach to linear filtering and prediction problems[J].Journal of basic Engineering,1960,82(1):35-45.

[14]付梦印,邓志红,张继伟.Kalman 滤波理论及其在导航系统中的应用[M].北京:科学出版社,2003.

[15]LUENBERGER D G.Optimization by vector space methods[M].New York:John Wiley & Sons,1997.

(责任编辑刘舸)

Study on Regression Credibility Model Based on Calman Algorithm

WANG Tao1，CAI Min1，LIN Shan2，LI Yang1，WU Li-jun1

(1.College of Mathematics and System Science, Xinjiang University, Urumqi 830046，China;2.School of Statistics, Xi’an University of Finance and Economy, Xi’an 730000, China )

This paper mainly studied the problem of estimating the reliability of regression credibility model based on the Calman algorithm, and Calman algorithm was applied to the regression credibility model, and another method for deriving regression credibility model was obtained. The result shows that the result is consistent with the result obtained by using Bayesian method and calman algorithm. But using the Calman algorithm, we can directly derive reliability model.The method is simple and convenient, which generalizes the classical reliability theory.

Calman algorithm; regression credibility model; credibility theory；

2015-10-25

国家自然科学基金资助项目(11361058)；新疆大学国家大学生创新创业实训项目(201410755005)

王涛(1993—)，男，主要从事统计学与金融数学研究；通讯作者 吴黎军(1961—)，男，教授，主要从事数理统计与金融数学研究,E-mail:xjmath@xju.edu.cn。

format：WANG Tao，CAI Min，LIN Shan,et al.Study on Regression Credibility Model Based on Calman Algorithm[J].Journal of Chongqing University of Technology(Natural Science)，2016(9):133-137.

10.3969/j.issn.1674-8425(z).2016.09.022

O211.5

A

1674-8425(2016)09-0133-05

引用格式：王涛,蔡敏，林杉,等.基于卡尔曼算法的回归信度模型研究[J].重庆理工大学学报(自然科学)，2016(9):133-137.