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绳-船模型的拓展研究

2016-10-25何述平

物理通报 2016年7期
关键词:端点直角坐标运动学

何述平

(西北师范大学教育学院物理教育研究所 甘肃 兰州 730070)



绳-船模型的拓展研究

何述平

(西北师范大学教育学院物理教育研究所甘肃 兰州730070)

基于绳-船模型拓展性地探究了斜绳上点的速度、加速度,结果表明:斜绳上各点的速度、加速度的大小、方向均不同;深化了绳-船模型的运动学认识.

绳-船模型斜绳上点速度加速度拓展

1 引言

绳-船模型是典型的运动学问题:如图1,岸上一人用绕过定滑轮的不可伸长的轻绳以匀速率v0拉湖面上与绳相连的船靠岸,当绳与水平面成θ角时,求船的速度、加速度.从普通物理用直角坐标分量法可简便解决[1].因绳、船连动,则连接船的斜绳端点的速度、加速度与船的相同;那么,斜绳上点的速度、加速度如何?有怎样的特点?就此进行相应的探究,以期拓展、深化绳-船模型的运动学认识,并为教学奠定基础.

图1 绳-船模型

2 探究

基于绳-船模型,依次探究斜绳端点、斜绳上点的速度、加速度.

2.1斜绳端点的速度加速度

湖岸为参考系,斜绳与滑轮相切处为原点,建立平面直角坐标系O-xy,如图2;连接船的斜绳端点A为研究对象(视作质点),位置坐标为(xA,yA);取rA,θ为参量,则有

xA=rAcosθ

(1)

yA=rAsinθ

(2)

图2 点A的直角坐标

式中xA,rA,θ均是时间t的变量,而由题设知yA=c为恒量(因绳端A随船沿湖面水平向左运动);对t求导得

(3)

(4)

依题意:绳缩短,则有

(5)

由式(3)、(4)、(5)得

(6)

(7)

由式(6)、(7)得端点A的加速度[1]

(8)

式(6)、(8)中的负号表明:斜绳端点A的速度、加速度的方向均沿x轴反向.

2.2斜绳上点的速度加速度

有定性说明斜绳上各点的速度的大小、方向都不相同,但斜绳上各点的速度在绳上的投影都相同,等于拉绳的速度[1];而未能依据位移、速度概念细致推证,难免令人费解.鉴于此,先定性推证,再定量探究.

2.2.1斜绳上点的速度特点

斜绳与滑轮相切处O为参考点(惯性系),经时间Δt,船沿湖面由A点运动到B点,斜绳上一点P相应由P点运动到M点,位移矢量为Δr,取ON=OM,则点P的位移矢量三角形为ΔPNM,如图3(a);Δt足够短或趋于零时,分位移Δr2垂直于分位移Δr1(Δr可等效为相对于参考点O的位置矢量r[图3(a)中未画出]的大小变化即分位移Δr1和方向变化即分位移Δr2).因此,点P的运动自然是沿绳的分运动、垂直绳的分运动的合运动;即点P的速度vP是沿绳的分速度v1,垂直绳的分速度v2的合速度,如图3(b);但点P的速度方向不再沿水平向左.从而定性推知:斜绳上各点的速度的大小、方向都不相同,但斜绳上各点的速度在绳上的投影都相同,等于拉绳的速度.

(a)点P的位移矢量     (b)点P的速度矢量

2.2.2直角坐标系下斜绳上点的速度、加速度

(1)直角坐标系下斜绳上点的速度

参考系、直角坐标系见图2,斜绳上一点P为研究对象(视作质点),位置坐标为(xP,yP),点P与斜绳端点A共线,则有约束方程

xP=rPcosθ

(9)

yP=rPsinθ

(10)

式中xP,yP,rP,θ均是时间t的变量,求导得

(11)

(12)

式中P是斜绳上的点,且绳缩短,则有

(13)

由式(11)~(13)和式(7)得

(14)

(15)

即P点的速度为

(16)

于是有

(17)

(18)

式(18)的结果同端点A的式(6).由式(16)得vP的大小、与水平面夹角

(19)

(20)

式(19)、(20)表明:vP,α均是rP的函数,即斜绳上各点的速度的大小、方向均不同;进而得(由题设知:

(21)

(22)

(2)直角坐标系下斜绳上点的加速度

由式(16)及式(5)、(7)、(13)得P点的加速度

(23)

于是有

(24)

(25)

式(25)的结果同端点A的式(8).由式(23)得aP的大小、与水平面夹角正切

(26)

(27)

式(26)、(27)表明:aP,tanβ均是rP的函数,即斜绳上各点的加速度的大小、方向均不同;进而得

(28)

(29)

令式(28)等于零,得

(30)

(31)

2.2.3极坐标系下斜绳上点的速度、加速度

(1)极坐标系下斜绳上点的速度

(32)

图4 点P的极坐标

则P点的速度为

(33)

由旋转矢量导数[2]、式(7)得

(34)

(35)

由式(33)、(13)、(34)得

(36)

式(36)表明:P点的速度vP是沿绳收缩的分速度

(2)极坐标系下斜绳上点的加速度

由式(36)、(34)、(35)、(5)、(7)、(13)得P点的加速度

(37)

于是有

(38)

(39)

由式(37)得aP的大小同式(26),与斜绳夹角正切

(40)

式(26)、(40)表明:aP,tanφ均是rP的函数,即斜绳上各点的加速度的大小、方向均不同;由式(37)、(30)得极小值时加速度

(41)

3 讨论

就物理学方法而言,直角坐标参量法涉及导数、矢量表示等方法;极坐标法涉及导数、矢量表示、单位矢量导数、矢量叉乘等方法.

4 结语

基于绳-船模型拓展性地探究了斜绳上点的速度、加速度,给出了定量表达式,并界定了取值;讨论了直角坐标参量法、极坐标法的特点;深化了绳-船模型的运动学认识,为教学奠定了基础.呈现了拓展普通物理运动学基本问题的一个实例.从基本问题到拓展问题,反映了提出问题能力;而提出问题能力的培养是教学目标之一;因此,依据教学实际适度让学生拓展适宜的基本问题,应是培养其提出问题能力的有效教学策略.

1胡盘新,孙迺疆.普通物理学(第5版)习题分析与解答.北京:高等教育出版社,2003.9~10

2Kleppner D,Kolenkow R J.力学引论.宁远源,等译.北京:人民教育出版社,1980.33~35,43

Extending Research on Rope-boat Model

He Shuping

(Research Institute of Physics Education,College of Education,Northwest Normal University,Lanzhou,Gansu730070)

Based on the model of rope-boat,the velocity and acceleration of a point of slanting rope are extensively explored,the results show that the size and direction of velocity and acceleration of each point of slanting rope are different;recognizing of kinematics of the model of rope-boat is deepened.

rope-boat model;point of slanting rope;velocity;acceleration;extending

2016-03-17)

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