杨建

从作业中的一个错误谈谈配方

杨建

在本文开头，让我们先来看看同学们作业中的一个错误.

题目：设关于x的方程x2-2mx-2m-4=0.

证明：不论m为何值，这个方程总有两个不相等的实数根.

【学生解答】Δ=b2-4ac

=（-2m）2-4×（-2m-4）

=4m2+8m+16

=m2+2m+4

=（m+1）2+3＞0.

∴原方程有两个不相等的实数根.

这位同学在解决这道题目的时候，混淆了解一元二次方程的配方和代数式的配方.方程的配方是将方程两边同时除以二次项系数，达到将二次项系数化为1的目的；而代数式的配方只能将二次项系数提取到括号外，不能轻易去掉，否则代数式的变形就不是恒等变形.

下面让我们通过两个例题来比较一下方程配方和代数式配方的区别.

例1解方程3x2-2x-6=0.

解：把二次项系数化为1，得

两边开平方，得

例2求代数式3x2-2x-3的最小值.

解：把二次项系数化为1

原式=

∴代数式3x2-2x-3的最小值为

观察上面两个例子可以看出，方程配方和代数式配方有联系也有区别，两者配方的时候都是先将二次项系数化为1，然后补上常数项，常数项都是一次项系数一半的平方.

不同的是，方程将二次项系数化为1的方法是方程两边同时除以二次项系数，保证得到的方程与原来的方程是同解方程.而代数式将二次项系数化为1的方法是提取二次项系数，保证代数式恒等变形.

配方法除了可以解方程，求代数式的最大（小）值，在解决其他一些代数问题方面也有一些应用.请看下面几个例题.

应用1配方凑平方和为零的形式

【思路分析】x2-4x、y2+6y已具备完全平方的雏形，可将x2-4x、y2+6y通过……