蒙特卡洛仿真在概率计算中的研究

马德宜1，柳福祥2
（1.三峡大学水利与环境学院，湖北宜昌443002；2.三峡大学理学院，湖北宜昌443002）

从直观感受出发研究了蒙特卡洛仿真在概率计算中的趣味性、有效性和可行性。采用理论与蒙特卡洛仿真相结合的方法，提高了理解随机变量等核心概念实质的能力，同时促进了概率计算创新思维能力的提升。以几何概型、连续型随机变量、数学期望和独立同分布等典型概率计算问题为例给出了具体的蒙特卡洛仿真算法。

概率计算；蒙特卡洛；创新思维

创新思维能力的培养是现代教育的核心内容之一，如何在概率计算中培养学生的创新思维能力是概率统计教学改革的重点内容之一［1］。概率统计教学改革已经从多个角度进行了探讨［2］，比如数学建模思想［3］、蒙特卡洛仿真［4-5］等。为了提高学生学习兴趣，结合实际课堂教学科研经验，首先基于随机变量的理论推导，促进学生对概率计算问题的逻辑思维；然后让学生自行完成蒙特卡洛仿真实验，促进学生对概率统计题目的直观感受，从而促进学生理解随机变量的实质，拓展学生的创新思维能力；仿真实验结束之后，分小组进行讨论总结，从多方面巩固与强化课堂教学质量。本文中将分别给出几何概型、连续型随机变量、数学期望和独立同分布等典型概率问题相关的仿真实验设计。

1　几何概型

几何概型与古典概型相对，将等可能事件的总数从有限延伸到无限。其主要特点为随机试验中所有可能出现的基本事件有无限多个；每个基本事件出现的可能性相等。

例1甲乙轮船驶向一个不能同时停泊2艘轮船的码头，它们在一昼夜内到达的时刻是等可能的。如果甲船的停泊时间是1 h，乙船的停泊时间是2 h，求任何一艘都不需要等候码头空出的概率。

为直观地理解此类题目，采用蒙特卡洛的方法来模拟。首先产生N组随机数（x，y），其中x，y都服从［0，24］上的均匀分布；其次，统计这些随机数中满足条件y-x≥1或x-y≥2的对数，记为M；最后计算概率p=M/N。蒙特卡洛模拟的Matlab伪代码如下：

为了比较蒙特卡洛模拟结果与理论概率之间的关系，通过改变模拟总次数得到图1。

图1　等候码头空出概率的估计值

2　连续型随机变量

在计算连续型随机变量落在某一区间的概率时，一般就是求相应区间的定积分，被积函数为连续型随机变量的概率密度。

例2一负责人到达办公室的时间均匀分布在8～12时，他的秘书到达办公室的时间均匀分布在7～9时，设他们两人到达的时间相互独立。求它们到达办公室的时间差不超过5 min的概率。

解设X和Y分别是负责人和他的秘书到达办公室的时间（h），按照题意可知所要求的概率为

为更加直观地理解此类题目，采用蒙特卡洛的方法来模拟。首先产生N个服从［8，12］的均匀随机数X，同时产生N个服从［7，9］的均匀随机数Y；其次，统计这些随机数中满足条件的对数，记为M；最后计算概率p=M/N。蒙特卡洛模拟的Matlab伪代码如下：

为了比较蒙特卡洛模拟结果与理论值之间的关系，通过改变模拟总次数得到图2。

图2　到达办公室时间差的概率

3　数学期望

数学期望是一种随机变量的数字特征。对于离散型随机变量而言，数学期望就是随机变量的取值以它们的概率为权的加权平均。

例3某车站每天8：00～9：00，9：00～10：00都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，其规律如表1所示，且两者到站的时间相互独立。

表1　到站时刻的规律

旅客8：20到车站，求候车时间的数学期望。

解设旅客的候车时间为X（m）。根据表1的数据可得到X的分布律如表2所示。

表2　X的分布律

候车时间的数学期望为E（X）=27.22。

为直观地理解此类题目，采用蒙特卡洛的方法来模拟。首先产生N个服从［1，6］的均匀随机整数X，同时产生N个服从［1，6］的均匀随机整数Y；其次记A=［10 30 30 30 50 50］，B=60+［10 30 30 30 50 50］，如果X（i）==1，则M=M+B（y（i））-20；否则M= M+A（x（i））-20；最后计算平均数p=M/N，即候车时间的数学期望的近似值。蒙特卡洛模拟的Matlab伪代码如下：

为了比较蒙特卡洛模拟结果与理论期望值之间的关系，通过改变模拟总次数得到图3。

图3　N取值候车时间的数学期望

4　独立同分布

对于离散型随机变量的独立性，可用分布律来描述。设（X，Y）是离散型随机变量，则X和Y相互独立的充要条件是对于（X，Y）的所有可能取的值（xi，yj），i=1，2，…；j=1，2，…

例4一民航送客车载有20位旅客自机场开出，旅客有10个车站可以下车。如到达一个车站没有旅客下车就不停车。以X表示停车的次数，求E（X）（设每位旅客在各个车站下车是等可能的，并设各位旅客是否下车相互独立）。

解引入随机变量

按题意，任一旅客在第i站不下车的概率为9/10，因此20位旅客都不在第i站下车的概率为，在第i站有人下车的概率为，即

为了更加直观地理解此类题目，采用蒙特卡洛的方法来模拟。首先产生20 N个服从［1，10］的均匀随机整数X；其次，统计每列中包含1-10中数字的个数，再将所有个数求和结果记为M；最后计算概率p=M/N。蒙特卡洛模拟的Matlab伪代码如下：

X=randint（20，N，［1，10］）；M=0；

for i=1：N

Temp=每列中含1-10中数字的个数；

M=M+temp；

end

p=M/N%最后的近似次数

为了比较蒙特卡洛模拟结果与理论期望值之间的关系，通过改变模拟总次数得到图4。

图4　N取值停车次数的数学期望

5　结论

结合实际经验，对几何概型、连续型随机变量、数学期望和独立同分布等知识点，从概率理论推导和蒙特卡洛仿真方面，详细给出了计算思路。通过改变模拟总次数得到蒙特卡洛模拟结果与理论期望值之间的关系，当N大于20 000次之后，蒙特卡洛模拟的结果就与理论数学期望值非常接近了，其结果相互佐证。实际效果表明：学生对概率统计的这些知识点的理解更加透彻，提高了他们学习概率统计的兴趣，为提升他们的创新思维能力提供了一种新的思路。

［1］高晴，徐全智，黄廷祝.概率统计课程中数学创新思维训练方法及实践［J］.大学数学，2014，30（3）：51-56.

［2］钟波，刘琼荪，刘朝林，等.深化工科概率统计课程教学改革培养学生创新能力［J］.中国大学教学，2007（3）：59-61.

［3］覃思义，徐全智，杜鸿飞，等.数学建模思想融入大学数学基础课的探索性思考及实践［J］.中国大学教学，2010，1（3）：36-39.

［4］刘东亮，徐浩军，蔡军，等.基于Monte Carlo仿真的小概率事件评估算法稳定性研究［J］.数学的实践与认识，2012，42（10）：68-73.

［5］郑喜英，孔波.基于Matlab的概率统计教学研究［J］.河南教育学院学报，2014，23（1）：56-50.

Research on Monte Carlo Method in Probability Computation

Ma Deyi1，Liu Fuxiang2
（1.College of Hydraulic&Environmental Engineering，Three Gorges University，Yichang 443002，China；2.College of Science，Three Gorges University，Yichang 443002，China）

From the visual sense，Monte Carlo's interesting，validity and practicality in the probability computation were discussed.The ability of comprehending the essence of random variable was improved by combining probability theory with Monte Carlo method.Meanwhile the innovative thinking ability of probability computation was enhanced.The four classical probability computation problems such as geometric probability model，continuous random variable，mathematical expectation and independent identicaldistributewerestudiedthroughMonteCarlomethod.

probability computation；Monte Carlo；innovative thinking

O211

A

1008-5483（2016）03-0077-04

10.3969/j.issn.1008-5483.2016.03.018

2016-04-07

三峡大学科学基金（KJ2013B030，KJ2013B031）

马德宜（1981-），男，湖北钟祥人，博士，从事概率方面的研究。E-mail：mdysave@163.com