何松年，杨　卓

（中国民航大学理学院，天津　300300）

Hilbert空间上公共不动点的强收敛定理

何松年，杨卓

（中国民航大学理学院，天津300300）

提出了一种非扩张映像有限族公共不动点的迭代算法，并证明了其强收敛性。作为此结果的推论，得到两种最小范数公共不动点的迭代算法。此结果是He等人结果的推广。

Hilbert空间；公共不动点；最小范数公共不动点；强收敛

1　引言和预备知识

假设C是Hilbert空间H的一个非空闭凸子集，称T：C→C是非扩张映像，若∀x，y∈C，‖Tx-Ty‖≤‖x-y‖成立。T的不动点全体记作Fix（T），假设Fix（T）≠。

众所周知，对于任意x∈H，在C中都存在唯一一个点，记作PCx；满足∀y∈C，‖x-PCx‖≤‖x-y‖，称PCx为x到C上的度量投影，称映射PC：x→PCx为H到C的投影算子，PC为非扩张映像。

为符号简明起见，将分别用→和⇀表示H中点列的强收敛和弱收敛。

文献［1］中，He等人给出了一个强收敛定理来计算PCu，其中∀u∈H任意取定，C是有限个凸函数水平集的交，即Ci=｛x∈H：ci（x）≤0｝，i=1，2，…，m，其中m是一个正整数，ci：H→R是凸函数。

定理1给定u∈H，任取一初始点x0∈H，序列｛xn｝⊂C由下面格式给出

其中

ci：H→R是凸函数，在H上次可微，并且次微分∂ci是有界算子假设序列｛λn｝⊂（0，1），若则｛xn｝强收敛于

本文目的是把这一定理推广到求有限个一般非扩张映像的公共不动点。为证明主要定理，需要下面几个引理。

引理1设H为实Hilbert空间，则下面的等式成立［1］

其中：u，v∈H，λ∈（0，1）。

引理2设H为实Hilbert空间，则下面不等式成立［1］

引理3设C是Hilbert空间H的非空闭凸子集，则对x∈H和z∈C，z=PCx等价于［2］〈x-z，y-z〉≤0，∀y∈C。

引理4设C是实Hilbert空间H的非空闭凸子集，T：C→C非扩张映像，如果｛xn｝⊂C满足xn⇀z并且‖xn-Txn‖→0，那么有如下结果［3］：z=Tz。

引理5假设｛sn｝是非负实数列，满足

ii）limn→∞αn=0；

2　主要结果

定理2设C为实Hilbert空间H的非空闭凸子集，｛Ti：C→C｝，i=1，2，…，m是一个非扩张映像族，并且序列｛xn｝由下面格式给出