李建杰

【摘要】 实践表明，各学科的高度融合为经济社会的发展提供了更为广阔的空间. 为适应这一发展，数学特别是职业高等数学教育必须发挥好基础性作用，在讲授学理的同时，更注重建立与完善各单元知识间的联系，将微分方程应用于数学建模就是很好的例证.

【关键词】 微分方程；数学建模

推动数学理论为生产生活服务是一个繁复的过程，其中教材教学变革是重要环节. 在教学中，将微分方程应用于数学建模，融通了数理与实践的联系，有利于学生全面系统思维的确立.

一、微分方程与数学建模

微分方程是未知函数的导数及自变量之间的函数方程，与初等数学中的线性方程、指数方程等有着质的差异. 初等数学方程以建构已知数和未知数之间的关系为主要目的，而微分方程所含导数的特征，使其在分析与解决生产和建设中的实际问题时更具普遍应用意义，它不仅与自然界中一切事物按其自身规律运动与演变的一般性相适应，更重要是它的形成本身就与物理化学、天文，经济学发展息息相关. 例如描述飞机在发动机推动下于空间飞行的轨道，放射性元素衰变规律，预测传染病扩散过程及感染人数，决策如何调价以利于新产品推广等问题时，微分方程的应用须臾不可离开.

微分方程的广泛适用性正是源于人们在认识自然过程中对多学科问题的求解. 它始于苏格兰数学家耐普尔创立对数时讨论微分方程的近似解，牛顿在建立微积分同时对简单的微分方程用级数求解. 而后瑞士数学家雅克布、欧拉和法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等日渐丰富了微分方程理论. 特别是随着科学技术日新月异的发展，数学物理计算机不同学科的相互渗透，使常微分方程的数学建模与应用领域不断扩展.

二、微分方程与数学建模的融合

在传统的“微分方程”教学中，教师更注重于数理分析与推演，而常常忽视知识的实践意义. 这样的教学，只是教会学生如何解题，而很难建立起数学理论与实际问题的联系. 因此，在讲授微分方程时，需要将数学建模思想与常微分方程教学有机融合起来.

这一融合教学绝不是“两个单元”的硬性拼凑，而是相辅相成的有机构成. 微分方程是联系自变量、未知函数及其导数的关系式，是数学学科中最受关注的领域之一，它使得自然科学中用数学不仅能表明状态，而且还展现了过程，在解决实际问题时发挥着重要作用.

三、微分方程在数学建模中的应用

实现微分方程与数学建模的有机融合，关键是掌握建立微分方程模型的方法与步骤.

主要方法

微分方程模型的特点在于描述现实世界中数量的变化关系，往往是与时间相关的一个动态系统，构建的方法主要有三种.

（1）利用已知的基本定律或基本公式建立常微分方程模型

主要利用各学科中已知的定理或定律来建立的. 如力学中的牛顿第二运动定律，万有引力定律，热力学定律、放射性问题中的衰变率，以及生物学、电学、经济学问题中的增长率等；

（2）利用导数的定义建立微分方程模型

把导数解释为瞬时变化率在很多领域建模时都会用到. 如在生物学、力学、电工学以及人口问题研究中出现的“速率”“增长”；在放射性问题中出现的“衰变”，在经济学中出现的“边际的”等，这些词的出现就是一个信号，要特别关注哪些研究对象在变化，这些变化规律也许可以用在微分方程的表示中.

（3）利用微元法建立常微分方程模型

这种方法主要是通过寻求微元之间的关系式，直接对函数运用有关定理建立模型. 一般地，如果某一实际问题中所求的变量I符合下列条件：I是与一个自变量x的变化区间[a，b]有关的量；I对于区间[a，b]具有可加性；部分量ΔIi = f（ξi）Δxi. 那么就可以考虑利用微元法来建立常微分方程模型. 这种方法经常被应用于各种领域，例如求曲线的弧长、平面图形的面积、旋转体的体积、物理上变力做功、压力、静力矩及重心等.

基本步骤

（1）建立模型——了解实际背景，明确建模目的，收集所需数据，做出必要合理的簡化假设与符号说明；

（2）求解模型——利用常微分方程的知识对所构建的模型正确求解，对于复杂模型可借助数学软件Matlab求解；

（3）模型探讨——对模型求解过程进行数学分析，例如引入系数进行误差分析等，并修正改进模型使之更准确描述实际问题；

（4）分析结论——通过所得数学结果分析实际的问题，给出合理的解决方案，回归实际案例.

（5）模型推广——利用数学模型得到的解对研究的实际问题给出分析解释或预报供决策者参考.

四、数学建模与常微分方程融合教学的启示

实践告诉我们，常微分方程与数学建模融合教学， 有益于数学与实践的链接，有益于破除数学与其他领域的“隔膜”，有益于学生从“要我学”到“我要学”的转变，实践给我们以启示.

1. 融合教学弥补了传统教学的不足，使数学从理论的殿堂走近人们的生产生活，使刻板的数字公式成为分析解决现实问题的方法.

2. 融合教学打破了教学一言堂的局面，每个人都去找案例，收集信息，使学生从被灌输的对象成为学习的主人，学习主动性充分迸发.

3. 融合教学深化了学生对常微分方程建模的理解，经过反复的训练，有效提升了学生解决实际问题的兴趣与能力.

4. 融合教学促进了教师知识水平的提高与教学模式的变革. 要培养创新型人才，一个关键因素就是教师知识体系的更新与教学模式的转变. 而这样的变革需要在每个知识点上的创新，需要统合辩证思维，需要锲而不舍.