程晓生

[摘 要]概率生成函数在概率论中有着很广泛的应用。对于某些比较复杂的问题，如果用生成函数来求解，能极大地简化求解过程。文章主要将概率生成函数应用到两个具体问题的求解中，最后得到了较好的结果。

[关键词]随机变量；概率生成函数；几何分布；相互独立

[DOI]10.13939/j.cnki.zgsc.2016.36.241

生成函数在数学上有着广泛的应用，最早由欧拉在18世纪研究整数分拆时提出，后来由拉普拉斯引入概率论，从而得到了进一步的发展。概率生成函数是研究正整数值随机变量的一个重要的工具，它是研究概率论问题最重要的工具之一——特征函数最简单的一种情形。在研究分布收敛性的时候，也就是在证明中心极限定理时，特征函数几乎是唯一的工具，直到20世纪七八十年代Stein方法的出现。所以对于生成函数的深入学习和研究对特征函数的深入理解和掌握有着很明显的现实意义。

1 匹配问题

匹配问题是关于把物体随机放入容器中这类问题中最简单的一种情形。现在我们将匹配问题一般化，这样更容易从本质上加深对问题的理解。

这样我们就比较容易地得到了这个公式，当然，也可 以用其他方法得到这个结论，但是论证过程可能相对复杂一些。

2 苍鹭捕鱼问题

小林老师应邻居的请求在他们度假不在家的时候帮助喂养在花园池塘里的金鱼。尽管小林老师每天都按要求去喂养金鱼，但是三星期来没有看到过一条金鱼。结果发现池塘里所有的金鱼都被一只苍鹭在邻居不在的时候偷偷吃掉了，而苍鹭吃鱼的时候一次也没被发现。……