周运清，黄文涛，周恺元

(浙江省海洋大数据挖掘与应用重点实验室；浙江海洋学院 物理系，浙江 舟山　316000)



留数定理计算无穷求和及其推广

周运清，黄文涛，周恺元

(浙江省海洋大数据挖掘与应用重点实验室；浙江海洋学院 物理系，浙江 舟山316000)

先讨论了留数定理在某些无穷项级数求和问题中的应用，然后推广至含正弦或余弦三角函数的无穷项级数求和，并作了严格证明，最后举例中两种方法对比说明结果的正确性，及说明留数定理在简化无穷级数时的有效性.

留数定理;无穷项级数求和;三角函数

留数定理是复变函数论的重要部分，在计算实数与复数积分中都有广泛的应用，复变函数和数学物理方法书籍上均对这些内容进行了详细的论述[1-3]，然而对留数定理在某些无穷项级数求和中的应用论述相对较少. 最近，有作者详细讨论了应用留数定理计算积分和一些具体级数和[4，5]. 本文则先系统地论述留数定理在无穷级数求和中的应用，再推广至含三角函数的无穷级数求和，并给出公式及其严格证明，最后给出一个实例，与傅里叶级数展开结果进行比较，可以明显看出我们结果的合理性，而文献[1，2]的推广方法欠妥.

图1　积分围道CN

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

把式(5)代入式(3)即可得到式(4)，即我们的推广式(4)得证. 值得注意的是，推广式(4)在θ=0时即为式(2).

解：由式(4)可得

(6)

由式(4)两边取虚部得

(7)

为了验证我们得到的结果的正确性，把式(7)右边进行傅里叶级数展开得

(8)

其中傅里叶系……