邱为钢

(湖州师范学院 理学院,浙江 湖州　313000)



两维离子晶体的马德隆常数

邱为钢

(湖州师范学院 理学院,浙江 湖州313000)

由无穷求和技巧和渐近展开，得到了两维正方形和正六边形晶体马德隆常数的解析表达式.

马德隆常数；无穷求和;正六边形

马德隆常数的物理意义很明确，麻烦的是如何给出解析表达式或者具体数值. 常用的手段是数值计算，文献[1]数值计算了两维正方形晶体的马德隆常数，文献[2]则给出了两维正三角形(正六边形)晶体马德隆常数的数值解. 数值方法简单直观，但要达到需要的数值精度，计算时间一般以小时为计. 如果这两个常数有解析表达式，数学软件马上就可以给出所需精度的数值表示. 我们发现，利用数学上的无穷求和技巧，是可以得到文献[1,2]上两个常数的解析表达式的. 文献[2]中马德隆常数与本文解析值前7位相同，文献[3]中马德隆常数与本文解析值前6位相同,验证了本文所用方法的合理正确性.

设两维格点(晶体)上有固定离子，离子之间的相互作用势是

(1)

定义无量纲的马德隆常数为

图1　正方形晶体离子分布示意图

(2)

式(2)中第一个两重无穷求和要扣除(0,0). 当0

(4)

利用单位跃迁函数H(x)[4]，可以把式(3)中有限求和化为无穷求和

(5)

其中求和遍及除去原点(0,0).利用跃迁函数积分表示[4]:

(6)

以及积分变换公式:

(7)

式(5)化为

(8)

令q=exp(-(z+t))，利用两重求和恒等式[5]:

(9)

式(8)化为

(10)

继续利用(6)、(7)两式，式(10)化为

(11)

考虑到跃迁函数的作用，式(11)化为

(12)

其中N(R,m)是R2/(2m+1)的整数部分. 在式(7)中，令z=k+λ，两边……